解答题02 数列（十大考点+真题模拟题练）-2024年高考数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

解答题02数列 【考点01等差等比基本量的计算及证明】 【例1】已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【例2】已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式1-1】①，②，③，，成等差，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题． 设正项等比数列的前项和为，满足______． (1)求； (2)求数列的前项和． 【变式1-2】已知递增的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，，求数列的前项和. 【变式1-3】已知数列满足. (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和. 【考点02由Sn与an求通项公式】 【例3】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【例4】已知是数列的前项和，满足，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【变式2-1】已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【变式2-2】己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差． (1)求及的通项公式； (2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 【变式2-3】各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【考点03其它求通项公式的常见方法】 【例5】在数列中，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【例6】在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式3-1】已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式3-2】已知数列的前项和，数列满足 ，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3-3】已知正数数列，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【考点04分组求和法（奇偶分段型及正负相间型）】 【例7】已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且. (1)求数列的通项和数列的通项； (2)若，求数列的前项和. 【例8】已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求的前100项和. 【变式4-1】已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 【变式4-2】已知数列满足，且对任意正整数m，n都有 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式4-3】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求 【考点05裂项求和法（等差型及指数型）】 【例9】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【例10】已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式5-1】已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式5-2】已知数列的前项和为，是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【变式5-3】数列的前项和满足． (1)令，求的通项公式； (2)令，设的前项和为，求证：． 【考点06奇偶数列问题（递推公式不同求通项）】 【例11】已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 【例12】已知数列满足，记， (1)写出数列的前4项； (2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的前20项和． 【变式6-1】已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【变式6-2】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【变式6-3】已知数列满足， (1)记，证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 【考点07隔项等差等比数列】 【例13】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【例14】在数列中，已知，，求通项公式． 【变式7-1】已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 【变式7-2】已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足， 若，求的值． 【变式7-3】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和. 【考点08插项数列】 【例15】已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．