精品解析：安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题

2024年合肥市高三第一次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名__________座位号__________ 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A 144 B. 120 C. 100 D. 80 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 4. 双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与交于两点，设弦中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D. 事件互为对立事件 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A. 存在点，使 B. C. 的最小值为 D. 周长的最大值为8 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的取值范围是__________. 13. 已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 14. 已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，当时，有极大值. （1）求实数的值； （2）当时，证明： 16. 如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 19. “数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意， （1）计算：； （2）证明：对于任意， （3）证明：对于任意， 第1页/共1页 学科网（