精品解析：北京市海淀区人大附中2024届高三下学期寒假自主复习检测数学试题

人大附中2024届高三寒假自主复习检测 数学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. ） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中项的系数为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 数列的前项和为，且满足：，，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知双曲线的焦点为，离心率为2，点是上一点，若的面积为，则为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 8. 已知等差数列前项和，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 10. 已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（ ） A. 的最小值为，的最大值为2 B. 的最大值为，的最小值为 C. 的最大值为，的最大值为2 D. 的最小值为，的最小值为 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置. ） 11. 设为虚数单位，若复数满足，则_________. 12. 已知向量，且 与的夹角为，则_____________. 13. 已知抛物线的焦点为是准线上一点，直线与的一个交点为，且，则_________，点的横坐标为_________. 14. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为__________，点N轨迹的长度为__________． 15. 已知数列满足： ，当 时，记,. 给出如下4个结论： ①； ②当，数列是递增数列； ③当时，存在正数使得； ④集合. 其中正确命题的序号是_____________________ 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请在答题纸上的相应位置作答. ） 16. 如图，平面四边形中，，，，. （1）求线段的长度； （2）求的值. 17. 已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面． （1）判断直线和的位置关系，并说明理由； （2）若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小． ①； ②为二面角的平面角． 18. 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康、文明、快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； （2）从参加体育锻炼活动时间在和学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A， B两点，且ABF1的周长为4. （1）求Γ的方程； （2）若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求ABC面积的最大值． 20. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，讨