专题04 三角函数中的新定义问题-备考2024年高考数学创新性新题型专项强化突破（新高考新题型专用）

九省联考”新题型专项强化训练 三角函数中的新定义问题 新定义题目简介 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3） 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 1．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量的“积函数”满足，求的值； (2)已知，设，且的“积函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时，的关系． 2．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 3．知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（    ） A．            B．            C．        D． (2)对于，的正对值的取值范围是______． (3)已知，其中为锐角，试求的值． 4．人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离：. (1)若、，求、之间的余弦距离； (2)已知，、,，若,，求、之间的曼哈顿距离. 5．我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 6．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 7．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数. (1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值； ①； ②； ③. (2)求证：，. 8．我们把平面直角坐标系中，函数上满足的点，称为函数的“正格点”． （1）请你选取一个m的值，使函数的图像上有“正格点”，并写出函数的一个“正格点”坐标． （2）若函数与函数的图像有“正格点”交点，求m的值，并写出两个函数图像的所有交点个数． （3）对于（2）中的m值，函数时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知为实数，用[]