专题03 复数、不等式中的新定义问题-备考2024年高考数学创新性新题型专项强化突破（新高考新题型专用）

“九省联考”新题型专项强化训练 复数、不等式中的新定义问题 新定义题目简介 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3） 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 一、多选题 1．意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形的边长、周长和面积分别为，，，为正n边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知实数且.定义区间的长度均为.若实数且.则满足不等式的构成的区间的长度之和为 ; 4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 ，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为 ．(，) 5．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到 （用含有的式子表示） 6．任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则 ；对于， ． 三、解答题 7．已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 8．设实数，若满足，则称比更接近. (1)设比更接近0，求的取值范围； (2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； (3)设且，，试判断与哪一个更接近. 9．定义区间、、、的长度均为n－m，其中n＞m． (1)若不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (2)已知实数a＞0，求满足的x构成的各区间的长度之和． 10．对于项数为，的有限数列，记该数列前i项、、、中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，，即，，．例如数列：1、3、2，则，，；，；，． (1)若四项数列满足，，，，求、、、； (2)设c为常数，且，，求证：，； (3)设实数，数列满足，，，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 11．已知集合，集合，集合. （1）若集合满足，，求实数的值； （2）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质. ①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和集合； ②判断和的大小关系，并证明你的结论. 12．设M，N是两个非空集合，定义集合M，N的差集为且. (1)已知，，若，求实数的取值范围； (2)若，是两个非空集合，求； (3)若，关于的方程的解是负数，再定义，求． 13．已知函数在区间上的最大值为9，最