专题01 集合中的新定义问题-备考2024年高考数学创新性新题型专项强化突破（新高考新题型专用）

九省联考”新题型专项强化训练 集合中的新定义问题 新定义题目简介 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3） 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 1．已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A； (3)求证：． 2．给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 3．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 4．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 5．已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 6．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 7．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 8．设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 9．设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”： ①； ②，，； ③，且C中的最小元素大于B中的最小元素； ④，，，必有，，. (1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知A，B，C是“无和划分”（）. （i）证明：对于任意m，，都有； （ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 10．对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 11．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 12．集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 13．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个