专题06 数列中的新定义问题-备考2024年高考数学创新性新题型专项强化突破（新高考新题型专用）

九省联考”新题型专项强化训练 数列中的新定义问题 新定义题目简介 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3） 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 1．已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质. (1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由； (2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围. 2．基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 3．在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的． (1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？ (2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值； (3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的． 4．对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”． (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”． ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件” 5．设正整数，有穷数列满足，且，定义积值 (1)若时，数列与数列的S的值分别为， ①试比较与的大小关系； ②若数列的S满足，请写出一个满足条件的 (2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明； (3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明. 6．若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”； (1)在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，； (2)若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值； (3)设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”. 7．若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，2，3，…； ②，，2，3，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式． 8．由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵． (1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求； (2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且． （i）求； （ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 9．已知等差数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 10．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 11．已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 (1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”； (2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 12．设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.