专题05 平面向量中的新定义问题-备考2024年高考数学创新性新题型专项强化突破（新高考新题型专用）

“九省联考”新题型专项强化训练 平面向量中的新定义问题 新定义题目简介 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3） 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 2．记集合，对于定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度， (1)已知，计算； (2)设，证明：； (3)对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知， ①中关于的绝对共线整点的个数为______； ②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，则的最小值为______ 3．给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)设向量的伴随函数为，若，且，求的值； (2)已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，称为函数的“相伴向量”. (1)记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围； (2)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围； (3)已知点，向量的“相伴函数”在处的取值为，在锐角中，设角的对边分别为，且，，求的取值范围. 5．对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P． (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？ (2)若，且具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，求证：，且当时，． 6．若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数． (1)若函数，求的特征向量； (2)若向量的特征函数为，求当，且时的值； (3)已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．设平面向量、的夹角为，．已知，，． (1)求的解析式； (2)若﹐证明：不等式在上恒成立． 8．平面直角坐标系中，点满足，且，点满足，且，其中. (1)求的坐标，并证明点在直线上； (2)记四边形的面积为，求的表达式； (3)对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 9．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．    (1)证明： (2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值． 10．设非零向量，，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 11．已知向量，其中，，是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系，，，. (1)当时，直接写出向量； (2)证明：不存在，使得中； (3)证明：存在，当时，向量满足. 12．记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， (1)若，求出集合中的三个元素； (2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 13．完成下面两题 (1)如图，一个半径为的圆在一条直线上无滑动地滚动，与轴的切点为，设圆上一点，顺时针旋转到所转过的角为， ①设平行于轴的单位向量为，平行于轴的单位向量为，用表示； ②在①的条件下，用题中所给字母表示，并以的形式写出运动轨迹的方程； (2)如图，设点在空间直角坐标系内从开始，以的角速度绕着轴做圆周运动，同时沿着平行于轴向上做线速度为的匀速直线运动,