专题10 渐近线相关（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题10 渐近线相关 知识点一、双曲线的渐近线的基本原理 1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是. 2.双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线 的渐近线方程为. 知识点二、定比点差法（直线与双曲线的两只渐近线都相交） 已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如下图.若. 设，则坐标均满足①，②. 又. 则由，可得：. 给②式乘再相减得： 故.由 情形2.如下图.若. 设，则 故得： 由于 由 题型【一】、已知方程求双曲线的渐近线方程 例1、（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期末）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为 C．双曲线的渐近线方程 D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为 例2、（2022·江苏·海安高级中学高二开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例3、（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________. 1．（2022·湖北·沙市中学高二期末）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________. 2．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________. 3．（2022·北京二中高二阶段练习）已知双曲线经过点，则它的渐近线方程为______，离心率为______. 题型【二】、根据求双曲线的渐近线求标准方程 例4、（2022·福建三明·高二期末）已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（    ） A．3 B．6 C．9 D． 例5、（2022·江西赣州·高三期末（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·上海·高二专题练习）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________. 2．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______． 题型【三】、根据abc的齐次式求双曲线的渐近线 例6、（2022·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．1 B． C． D．3 例7、（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例8、已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______． 1．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高三期末（文））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2022·全国·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（    ） A．， B． C．的离心率等于 D．的渐近线方程为 4．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______. 题型【四】、以求双曲线的渐近线为载体的综合问题 例9、（2020·广西·南宁三中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 例10、（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________. 2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 例11、（2024·全国·模拟预测）设双曲线的左、右焦点