精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题

湖南师大附中2023-2024学年度高二第二学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：）．已知在抽取样本中，男生的平均身高为，女生的平均身高为，由此估计该班全体学生的平均身高约为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的极值点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线准线方程是 D. 直线与圆相交 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的值域是 C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数 11. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，最小值为 D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设，为单位向量，且，则____________. 14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 15. 已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为______． 16. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和. 18. 2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店评估分数按，，，分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、、、四个等级，等级评定标准如表所示． 评估分数 评定等级 A （1）估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数； （2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A等级的概率． 19. 在直三棱柱中，，，M为的中点，． （1）求的长； （2）求二面角的余弦值． 20. 在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线：，，，，为曲线上不同的四点. （Ⅰ）求实数的值及的最小覆盖圆的方程； （Ⅱ）求四边形的最小覆盖圆的方程； （Ⅲ）求曲线的最小覆盖圆的方程. 21. 已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由. 22. 已知函数．