2024年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练

2024年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练 1．已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于，两点，. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. 2．已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点. 3．已知椭圆过两点，直线过点，且交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为. （1）求椭圆的标准方程. （2）证明：为定值. （3）求的取值范围. 4． 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值. 5．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆C的方程； （2）动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值． 6．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 7．已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，． （1）求抛物线的方程，并证明； （2）已知，且，，三点共线，若且，求直线的方程． 8．设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆. （1）求圆C的方程. （2）过作直线l与圆C相交于A，B两点， ①用坐标法证明：是定值. ②设，求的最大值. 9．已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点. （1）若直线与只有一个公共点，求； （2）设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，，且直线，与轴分别交于，两点. ①证明：. ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 10．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由已知得.将代入方程，得， 由得，.因此双曲线的标准方程为. （2）解：设，则，，则 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则. .联立方程可得， 则，. 令，整理得. 要使得对任意的上式恒成立，则 解得：. 所以，当时，. ②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点， 此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求. 综上所述，当时，为定值6 2．【答案】（1）解：因为，所以， 双曲线的一条渐近线为，因为双曲线的右顶点为，设右顶点到浙近线的距离为， 由题意得解得 则的标准方程为. （2）证明：①当，即时，设点， 代入双曲线方程得，，解得，取第二象限的点，则， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，解得，即， 因为直线是的角平分线，且.，所以直线的斜率为， 直线的方程为，令，解得，即， 此时，即是的中点； ②当时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程消去得， 由韦达定理得，， 又因为，所以，， 点，又因为， 所以， 由题意可知，直线的斜率存在，设为，则直线：， 因为是的角平分线，所以，所以， 又因为，， 所以，即， 即，得或， 由题意知和异号，所以，所以直线的方程为， 令，可得，即，所以， 直线的方程为，令，可得， 即，所以， 所以，即是的中点. 综上，是的中点. 3．【答案】（1）解：由题意可知 所以， 故椭圆的标准方程为. （2）证明 ：由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴， 设直线，设， 由消去并整理得， 则 由，得，即， 而，同理， 因此， 所以为定值. （3）解：， 由，可知， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 4．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上， 所以，解得，，椭圆方程为， 因为，圆心为原点， 所以卫星圆的方程为. （2）解：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或， 当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和， 此时经过点或且与椭圆只有一个公共