2024年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数专题6：相似、全等三角形存在性

课题 二次函数专题6：相似三角形、全等三角形存在性问题 教学内容 【方法梳理】 一、探究相似三角形存在性问题： （1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解，适用于第1题； （2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可，适用于第2、3题. 二、探究全等三角形存在性问题： （1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式，适用于第4、5题； （2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可，适用于第6题. 【方法突破】 相似三角形问题 1.如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B（3，0），C（0，4），点D为x轴上一点，当△ABC∽△ACD时，求点D的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与 y 轴交于点 B，已知点 C 的坐标为（-4，0），点 P 是直线 AB上的一个动点.若以A，P，C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标. 3.如图，抛物线x2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N.若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标. 全等三角形问题 4.如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线AC⊥AB于点A，若点D是x轴上方直线AC上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，当△BOA≌△AED时，求点E的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点C是第一象限内抛物线上一点，过点C作CD⊥x轴于点D，直线y＝x与CD所在直线交于点E，若直线y＝x上存在一点F，使得△ODE≌△FCE，求点C的坐标. 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2-2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，若在第二象限内存在一点D，使得以A，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，求点D的坐标. 【设问进阶】 例：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线x2与直线AC交于点B（4，3）. （1）已知点P是x轴上一点（点P不与点O重合），连接CP，若△AOC∽△ACP，求点P的坐标; （2）已知点Q（m，0）是x轴上一点，连接BQ，若以点A，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点Q的坐标; （3）已知点E（0，n）为y轴正半轴上一点，点D（0，-1），若以点B，C，E为顶点的三角形与△ACD相似，求点E的坐标; （4）若点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥y轴于点G，点J是y轴上一点，要使以F，G，J为顶点的三角形与△OAC全等，求点F的纵坐标; （5）若点S为第一象限内抛物线上一点，过点S作ST⊥x轴于点 T ,点 Z 是 x 轴上一点,要使以 S, T , Z 为顶点的三角形与△AOC全等，求点Z的坐标; （6）如图⑥ ，已知L为AO的中点，连接OB，点R为平面直角坐标系内一点，是否存在点R，使得以L，O，R为顶点的三角形与△COB全等？若存在，请求出点R的坐标;若不存在，请说明理由. 【综合强化】 1.定义:将抛物线y＝ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线y＝a（x-h）2+k（h，k均大于0），则将抛物线y＝ax2称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线y＝a（x-h）2+k称为抛物线y＝ax2的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离h2+k2）称“衍生距离”.如图，已知抛物线L:x2+2x与x轴交于点A,顶点为B,连接AB,OB. （1）若抛物线x2为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为，平移前后对应点的“衍生距离”为_____; （2）若点Q是线段AB上一点，点C为OB的中点，连接CQ，点B关于线段CQ的对称点为B′，当△B′CO为等边三角形时，求CQ的长; （3）若将抛物线L作为“原函数”，将其向左平移n（n＞0）个单位得到它的“衍生函数”L′，L′与x轴的负半轴交于点E，与y轴交于点D，点P为抛物线L′上一点，若△POE≌△POD，求两抛物线的“衍生距离”. 2.定义:若抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.线段OA，OB，OC的长满足OC2＝OA·OB，则这样的抛物线称为“黄金抛物线”.如图，“黄金抛物线”y＝ax2+bx+2（a≠0