2024年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数专题5：直角三角形存在性

课题 二次函数专题5：直角三角形存在性问题 教学内容 【方法梳理】 1.求作直角三角形的方法: 已知点A，B和直线l，在l上找点P，使△PAB为直角三角形. （1）如图① ，分别过A，B两点作AB的垂线，与直线l的交点P1， P2即为所求; （2）如图② ，以AB为直径画圆，与直线l的交点P3，P4即为所求. 2.求点坐标常用方法: （1）设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解; （2）找相似，利用相似三角形的性质求解;通过构造一线三垂直，利用相似求解; （3）特殊地，若有30°、45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解; （4）利用两直线垂直解析式中k的关系求解. 【方法突破】 1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在所给网格中确定格点C，使得△ABC是以AB为直角边的直角三角形. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，4），点P为y轴上一点，当△PAB为直角三角形时，求点P的坐标. 3.如图，已知抛物线x2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若在抛物线上存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形，求出点P的坐标. 【设问进阶】 例：已知抛物线L:x2+x+4与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D. （1）如图① ，若点E是y轴上一点，且∠AEB＝90°，求点E的坐标; （2）如图② ，连接BD，在x轴上是否存在一点G，使得△BDG为直角三角形？若存在，求出点G的坐标;若不存在，请说明理由; （3）如图③ ，连接AC，在抛物线的对称轴上存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形，求出点F的坐标; （4）如图④ ，点N是第一象限抛物线上的一点，连接AN，若点N到x轴的距离为d，点C关于x轴的对称点为C′，直线BC′上是否存在一点 H，使得△ANH 为直角三角形，且Rt△ANH的面积为3d，若存在，请求出点H的坐标;若不存在，请说明理由; （5）如图⑤ ，将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线L'与原抛物线交于点C.记新抛物线的顶点为M，连接AM，在y轴上是否存在一点Q，使得△AMQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【综合强化】 1.如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC，抛物线的对称轴l为直线x＝1. （1）求a，b的值; （2）点P为抛物线的对称轴上一点，连接AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标; （3）（y轴上的动点）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，使得以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为，且AB＝CB，点M是线段BC的中点，连接AC，AM. （1）求抛物线的解析式; （2）将△ACM沿x轴向右平移m（）个单位长度得到△A′C′M′，A′C′，A′M′分别与BC交于点Q，N，设△ABC与△A′C′M′重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式; （3）（直线上的动点）在（2）的条件下，若，试探究在直线C′M上是否存在点P，使得△ACP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$