2024年九年级中考数学专题复习 二次函数专题4：等腰三角形存在性

课题 二次函数专题4：等腰三角形存在性问题 教学内容 【方法梳理】 1.求作等腰三角形的方法: 已知点A，B和直线l，在l上找点P，使△PAB为等腰三角形. （1）若AB为腰.分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与直线l的交点P1，P2，P3，P4即为所求; （2）若AB为底作线段AB的垂直平分线与直线l的交点P5即为所求. 2.求点坐标常用方法: （1）当三角形的底边确定时，直接根据底边的垂直平分线，利用角相等或相似三角形求解; （2）当三角形的腰长和底边不确定时，可根据等腰三角形腰长相等的性质，按照三条边两两相等，分三种情况讨论，设出点的坐标，分别表示三条边的长度，列方程求解. 【方法突破】 1.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴交于点B，A（2，3）在直线上，在x轴上有一点C，使得△ABC是以AB为底的等腰三角形，求点C的坐标. 3.如图，已知抛物线x2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是y轴上一点，若△PAC是等腰三角形，求点P的坐标. 【设问进阶】 例：如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. （1）如图① ，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标; （2）如图② ，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由; （3）如图③ ，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标;若不存在，请说明理由; （4）如图④ ，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标;若不存在，请说明理由; （5）如图⑤ ，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标;若不存在，请说明理由. 【综合强化】 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+4x-1与直线l:y＝x-1交于A，B两点. （1）求A，B两点的坐标; （2）若点M是直线AB下方抛物线上一动点（不与A，B重合），过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出MN的范围; （3）（y轴上的动点）在y轴是否存在一点C，使得△ABC是等腰三角形？若存在，请求出点C的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x-6.点P是x轴上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴交直线BC于点E，交抛物线于点F. （1）求抛物线的解析式; （2）若点P在线段OB上运动（且不与点O重合），当AE＝时，请你猜想∠AEP与∠ACO的数量关系，并说明理由; （3）（x轴上的动点）是否存在点P，使得△CEF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$