第十八章 专题六 特殊平行四边形的折叠、动点问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(人教版)河北专用

年级下册·RJ河北专用 数 学 第十八章　平行四边形 专题六　特殊平行四边形的折叠、动点问题 类型1矩形中的折叠、动点问题 1.（2023·石家庄期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿 AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（　C　） A.6 B.8 C.10 D.12 第1题图 C 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点 （P不与B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的 取值范围是（　A　） A.≤AM＜4 B.6≤AM＜8 C.≤AM＜8 D.3≤AM＜4 第2题图 A 3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为矩形ABCD的对称中心，点 E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F.将四边形AEFD沿着EF翻折，得到 四边形A'EFD'，边A'E交边BC于点G，连接OG，OC，则△OGC的面积的最小值 为（　D　） A.18－3 B.＋3 C.12－ D.6＋ D 4.抽象能力（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A' 处，得到折痕DE，如图①所示.求证：四边形AEA'D是正方形. 思路分析：（1）由折叠的性质得AD＝A'D，AE＝A'E，∠ADE＝∠A'DE＝ 45°，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA'D是菱形，进而 结合内角为直角得到四边形AEA'D为正方形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°. ∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕 DE，∴AD＝A'D，AE＝A'E，∠ADE＝∠A'DE＝45°.∵AB∥CD，∴∠AED＝ ∠A'DE＝∠ADE， ∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A'E＝A'D，∴四边形AEA'D是菱形.又∠A＝90°，∴菱 形AEA'D是正方形. （2）将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C' 处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图②所示.线段MC'与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由. 思路分析：（2）连接C'E，证明Rt△EC'A≌Rt△C'EB'，得∠C'EA＝∠EC'B'， 可得结论. 解：（2）MC'＝ME. 证明：如图②所示，连接C'E，由（1）知，AD＝AE. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠EAC'＝∠B＝90°. 由折叠知，B'C'＝BC，∠B＝∠B'， ∴AE＝B'C'，∠EAC'＝∠B'＝90°. 在Rt△EC'A和Rt△C'EB'中， ∴Rt△EC'A≌Rt△C'EB'（HL）， ∴∠C'EA＝∠EC'B'，∴MC'＝ME. 类型2菱形中的折叠、动点问题 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB＝3，则菱 形AECF的面积为（　C　） A.1 B.2 C.2 D.4 思路分析：根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用折叠的性质得∠ECO＝ ∠ECB，可通过折叠的性质结合直角三角形勾股定理求得BC，BE的长，再利用 菱形的面积公式即可求解. C 6.如图所示，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于 点E，F，G，连接ED，DG. （1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由. 解：（1）四边形EBGD是菱形.理由如下： ∵EG垂直平分BD， ∴EB＝ED，GB＝GD. ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中， ∴△EFD≌△GFB（ASA）.∴ED＝BG. ∴BE＝ED＝DG＝GB. ∴四边形EBGD是菱形. （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋ HC的最小值. 解：（2）作EM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N. ∵ G点关于BD的对称点是E， ∴ 连接EC交BD于点H，此时HG＋HC最小，如图 所示. 在Rt△EBM中， ∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2， ∴EM＝BE＝. ∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC， ∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2. 在Rt△DNC中， ∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°， ∴∠NDC＝∠NCD＝45°. ∴DN＝NC＝. ∴MC＝3. 在Rt△EMC中， ∵∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3， ∴EC＝＝＝10. ∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC， ∴HG＋HC的最小值为10. 类型3正方形中的折叠、动点问题 7.如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB， AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处.已知BE＝1，则EF的长为 （　C　） A.1 B.2 C. D.3 C 8.推理能力如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E，F分别为AD，CD 边上的动点，且分别从A，D出发，以相同的速度同时向终点D，C运动，连接 BE，AF相交于点H. （1）试问：在整个运动过程中，BE，AF之间的关系是否保持不变？请说明理由. 思路分析：（1）根据SAS证明△BAE≌△ADF，得出BE＝ AF，∠ABE＝∠DAF，再证明∠AHB＝180°－90°＝90°，即可 得出BE⊥AF. 解：（1）BE＝AF且BE⊥AF.理由如下：∵四边形ABCD为正 方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°. ∵点E，F以相同的速度同时向终点D，C运动，∴AE＝DF. 在△BAE与△ADF中， ∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAH＝∠BAD＝90°，∴∠ABH＋∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180° －90°＝90°，∴BE⊥AF. 综上所述，BE＝AF且BE⊥AF. 思路分析：（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，得出GH始终等于2，当点E运动到点D，点F运动到点C时， BE，AF正好为正方形ABCD的对角线，点H正好为对角线的交 点，根据勾股定理求出BD＝＝4，得出DH＝BD＝ 2，从而得出此时DH＋HG＝2＋2. （2）AB的中点为G，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使DH＋HG＝2＋ 2？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在.例如当点E运动到点D，点F运动到点C时，DH＋HG＝2＋2. ∵∠AHB＝90°，∴△ABH为直角三角形.∵G为AB的中点，∴GH＝AB＝2，即 GH始终等于2. 如图所示，当点E运动到点D，点F运动到点C时，BE，AF正好为正方形ABCD的 对角线，点H正好为对角线的交点.∵BD＝＝4， ∴DH＝BD＝2，∴此时DH＋HG＝2＋2. $$