第十八章 专题五 四边形的最值问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(人教版)河北专用

年级下册·RJ河北专用 数 学 第十八章　平行四边形 专题五　四边形的最值问题 类型1一般四边形的最值问题 1.如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝α.在AB，BC上分别找 一点E，F，使△DEF的周长最小.此时∠EDF＝（　D　） A.α B.90°－α C. D.180°－2α D 2.如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝ 2.在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则最小值为 ⁠. 思路分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在 同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出最小值，再利用 勾股定理求出即可. 2　 类型2矩形的最值问题 3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是AD上一点，AE＝2，P是BC 上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD 的长度是 ⁠. 10　 （1）如图①所示，求矩形ABCD的周长. 解：（1）矩形ABCD的周长为（10＋8）×2＝36. 4.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10. （2）如图②所示，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上 的点F处. ①求DE的长. ②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长. 解：（2）①∵四边形ABCD是矩形， 由折叠对称性，得AF＝AD＝10，FE＝DE. 在Rt△ABF中，由勾股定理，可得BF＝6， ∴FC＝4， 在Rt△ECF中，42＋（8－DE）2＝DE2， 解得DE＝5. ②分三种情形讨论： 当AP＝AF时， ∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6； 当PF＝AF时，则PB＋6＝10，解得PB＝4； 当AP＝PF时，在Rt△APB中， AP2＝PB2＋AB2. 设PB＝x，则PA＝x＋6， ∴x2＋82＝（x＋6）2，解得x＝，即PB＝. 综上可得PB＝6或4或. （3）M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在 BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和. 解：（3）当点N与C重合时，CT取最大值是8， 当点M与A重合时，CT取最小值为4，所以线段CT长度的最大值与最小值之和为 12. 类型3菱形的最值问题 5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝ 60°，点E的坐标为（0，－），点P是对角线OC上一个动点，则EP＋BP的最短 距离为 ⁠. 第5题图 　 6.如图所示，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点.P是对角线AC上 一个动点，则PE＋PB的最小值为 ⁠. 第6题图 2　 思路分析：连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA＝∠ADC＝ 60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问 题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE＋PB的最小值＝DE，然后根据等边三 角形的性质求出DE即可. 类型4正方形的最值问题 7.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，点M是正方形ABCD对角线AC上一 点，连接BM，过点A作AH⊥BM，垂足为H，连接CH.在M点从C到A的运动过程 中，CH的最小值为 ⁠. 2－2　 8.如图所示，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M，N分别 为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM＋NE的最小值为 ⁠. 8　 9.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，且 BF＝DE＝.连接AE，AF，CE，CF. （1）求证：四边形AECF是菱形. 思路分析：（1）连接AC交BD于点O，根据正方形的性质得到 BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO，根据菱形的判定定理即可得到 结论. 解：（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO. ∵BF＝DE＝，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形. （2）求四边形AECF的面积. 思路分析：（2）根据勾股定理得到BD＝AC＝，根据菱形的 面积公式即可得到结论. 解： （2）∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴BD＝AC＝，∴EF＝3， ∴四边形AECF的面积＝AC·EF＝××3＝3. （3）如果M为AF的中点，P为线段EF上的一动点，