第十七章 专题三 勾股定理与折叠(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(人教版)河北专用

年级下册·RJ河北专用 数 学 第十七章　勾股定理 专题三　勾股定理与折叠 类型1折叠构造直角三角形 1.如图所示，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点 与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ⁠. 4　 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上的一点，将△ACD沿AD折 叠，点C恰好落在边AB上的点E处，若AC＝6，BC＝8，求BD的长. 思路分析：根据折叠的性质可得CD＝DE，AC＝AE＝6，∠C＝∠AED＝∠BED ＝90°，设BD＝x，则CD＝DE＝8－x，在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，列方 程求解即可. 解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则AB＝＝10， 由折叠的性质可知 CD＝DE，AC＝AE＝6，∠C＝∠AED＝∠BED＝90°， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4，设BD＝x，则CD＝DE＝8－x， 在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴BD＝5. 类型2折叠构造三垂直图形 3.如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10 cm， AB＝8 cm，求： （1）FC的长. 思路分析：（1）由折叠的性质可得AF＝AD，由勾股定理可求 出BF的值，再由FC＝BC－BF求解即可； 解：（1）由折叠的性质可得AF＝AD＝10 cm， 在Rt△ABF中，∵AB＝8 cm， ∴BF＝＝＝6（cm）， ∴FC＝BC－BF＝10－6＝4（cm）. （2）EF的长. 思路分析：（2）由折叠的性质可得EF＝DE，设DE的长为x cm，则EC的长为（8－x） cm，在Rt△EFC中，由勾股定理即 可求得EF的值. 解：（2）由折叠的性质可得EF＝DE， 设EF＝DE＝x cm，则EC＝DC－DE＝（8－x）cm， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE2＋FC2＝EF2，即（8－x）2 ＋42＝x2，解得x＝5，即EF的长为5 cm. 类型3折叠构造全等三角形 4.如图所示，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折 至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. （1）求证：△ABG≌△AFG. 思路分析：（1）由折叠的性质得AB＝AD＝AF，∠B＝∠D ＝∠AFE＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出 Rt△ABG≌Rt△AFG即可； 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD， ∠D＝∠B＝∠BCD＝90°. ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）. （2）求BG的长. 思路分析：（2）利用勾股定理得出GE2＝CG2＋CE2，进而求出 BG即可. 解：（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.∵E为CD 的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝3＋x. 在Rt△CEG中，CG2＋CE2＝GE2， ∴（6－x）2＋32＝（3＋x）2，解得x＝2，∴BG＝2. 类型4折叠构造等腰三角形 5.如图所示，在平面直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CD，DC在x轴的 正半轴上，点D与点O重合，点B的坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠， 使B，D两点重合，折痕为EF. （1）求证：DE＝DF. 思路分析：（1）由AB∥CD可得∠BEF＝∠DFE，又由折叠的 性质可得∠BEF＝∠DEF，即可得∠DEF＝∠DFE，从而得DE ＝DF； 解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠DFE，由折叠的性 质可得∠BEF＝∠DEF，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF. （2）求AE的长. 思路分析：（2）根据点B的坐标为（8，4），可得AB＝OC＝ 8，BC＝OA＝4，设BE＝OE＝x，则AE＝8－x，在Rt△AEO 中，根据勾股定理可求出x的值，从而求得AE的长； 解：（2）∵点B的坐标为（8，4），∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4， 设BE＝OE＝x，则AE＝8－x， 在Rt△AEO中，AE2＋OA2＝OE2，∴（8－x）2＋42＝x2，解得x ＝5，∴AE＝8－x＝3. （3）求折痕EF的长. 思路分析：（3）由（2）可得OF＝OE＝5，AE＝3，过点E作 EG⊥OF，垂足为点G，构造直角三角形，利用勾股定理即可求 得折痕EF的长. 解：（3）由（2）得OF＝OE＝5，AE＝3，过点E作EG⊥OF，垂足为点G，则EG＝OA＝4，OG＝AE＝3，∴GF＝OF－OG＝2.在 Rt△EGF中，EF＝＝＝2. $$