第十七章 专题二 应用勾股定理解决最短路径问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(人教版)

年级下册·RJ 数 学 第十七章　勾股定理 专题二　应用勾股定理解决最短路径问题 平面图形上的最短路径 1.如图所示，一长方形操场长20 m，宽15 m，四个顶点各放一面小旗，一名同学站在中心点O处，他要到A，B，C，D处取小旗，他拿到最后一面旗子时，所走的最短路程是（　C　） A.67.5 m B.55 m C.62.5 m D.以上都不对 C 2.如图所示，已知A村庄与B村庄相距12 km，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处.已知∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝2 km，DB＝3 km，现要在线段AB之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（　D　）km. A.10 B.17 C.14 D.13 思路分析：作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，连接C'D交AB于E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于F，再根据勾股定理求解即可. D 3.如图所示，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2，AD＝，则PC＋PE的最小值是 　​　⁠. ​ 4.小烨在探究数轴上两点间距离时发现： 若A，B两点在x轴上或直线AB与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则A，B两点间距离为｜AB｜＝｜x2－x1｜； 若A，B两点在y轴上或直线AB与y轴平行，A，B两点的纵坐标分别为y1，y2，则A，B两点间距离为｜AB｜＝｜y2－y1｜. 据此，小烨猜想：对于平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1，P2两点间的距离为｜P1P2｜＝. （1）请你利用如图，试证明：｜P1P2｜＝. 解：如图所示，从点P1，P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1（x1，0），N1（0，y1）， M2（x2，0），N2（0，y2）， 其中直线P1N1和P2M2相交于点Q. 在Rt△P1P2Q中，∵｜P1Q｜＝｜M1M2｜＝｜x2－x1｜， ｜P2Q｜＝｜N1N2｜＝｜y2－y1｜， ∴｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜P2Q｜2＝｜x2－＋｜y2－y1｜2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2， ∴｜P1P2｜＝. （2）若A（－1，1），B（2，3），试在x轴上求一点M，使｜MA｜＋｜MB｜的距离最短，并求出｜MA｜＋｜MB｜的最小值. 解：作点A（－1，1）关于x轴的对称点A1（－1，－1）， 连接A1B，A1（－1，－1）与B（2，3）两点间的距离即为所求的最小值，直线A1B与x轴的交点为所求的M点， ｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA1｜＋｜MB｜＝｜A1B｜＝＝＝5. 立体图形上的最短路径 5.如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是（　C　） A.P B.Q C.R D.S 第5题图 C 6.如图所示，一圆柱高BC为20 cm，底面周长是10 cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且PC＝BC，则最短路线长为（　B　） A.20 cm B.13 cm C.14 cm D.18 cm 第6题图 B 7.如图所示，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　D　）米. A.20 B.8 C.24 D.6 D 8.在一个长为5米，宽为3米的长方形草地ABCD上，如图所示堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　3　⁠米. 思路分析：如图所示，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为5＋1＝6（米），因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，利用勾股定理求解即可. 3 9. 如图所示是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝4 m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为 　20　⁠m.（π的值取3） 20 10.葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的.难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ （1）如图所示，若树干为一底