第四章第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学下册同步学与练（北师大版）

第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练) 目录 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 3 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 5 【模型四 一线三等角模型】 9 【模型五 三垂直模型】 14 【模型六 旋转型模型】 18 【模型七 倍长中线模型】 24 【模型八 截长补短模型】 30 【模型一 平移型模型】 例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．    【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段、相交于点，，，求证：． 【变式训练】 1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．    2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练】 1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练】 1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶中，，直线经过点于于，求证∶； （2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用∶如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和． 【模型五 三垂直模型】 例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【变式训练】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【模型六 旋转型模型】 例题：如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠