热点8-1 排列组合与二项式定理（10题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点8-1 排列组合与二项式定理 排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，难度基本稳定在中等。虽然九省联考给出新的命题方向，但二项式定理问题依旧有可能是高考的热门考点，主要考查二项展开式的通项，二项式系数和及各项系数和等问题。 【题型1 两种计数原理的应用】 满分技巧 1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析需要分类还是需要分步； 2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； 3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。 【例1】（2023·全国·高三校联考专题练习）现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ） A．84 B．172 C．160 D．230 【变式1-1】（2023·广东广州·华南师大附中模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【变式1-2】（2024·山西·高三山西大附中校考阶段练习）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1-3】（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（ ） A．150 B．240 C．180 D．236 【变式1-4】（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）襄阳为“中国优秀旅游城市”，境内生态环境优美，旅游资源十分丰富，景区景点给人以自然的美妙与人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨，谷城薤山，保康五道峡，枣阳白水寺、唐梓山风景区，襄州鹿门寺都是风景宜人的旅游胜地，一位同学计划在假期从上面7个景区中选择3个游玩，其中香水河和五道峡最多只去一处，不考虑游玩的顺序，则不同的选择方案数有（ ） A．20 B．30 C．35 D．40 【题型2 队列排序问题】 满分技巧 1、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。 3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法 解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。 【例2】（2024·江西·高三校联考开学考试）某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·浙江宁波·高三统考期末）体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（ ） A．24种 B．36种 C．72种 D．96种 【变式2-2】（2024·江苏南通·高三统考期末）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A．72 B．144 C．108 D．96 【变式2-3】（2024·湖南邵阳·统考一模）苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产