内容正文：
紫荆中学2024年高考第四次模拟考试试题（卷）
高三数学
命题人：高三数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知数列，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（ ）
A. 0 B. 1 C. －5 D. －1
7. 已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 正四面体棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线对称轴
D. 直线是曲线的切线
10. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为
11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数是偶函数，则______.
14. 已知为等比数列，，，则______.
15. 函数的最小值为______.
16. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出值；若不存在，说明理由．
18. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
19. 在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
20. 已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．
21. 某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
等级
珍品
特级
优级
一级
价格/（元∕kg）
36
30
24
18
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
22. 已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根分别为，求证：．
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紫荆中学2024年高考第四次模拟考试试题（卷）
高三数学
命题人：高三数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算