考点24 图形的相似（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）

考点24. 图形的相似（精讲） 【命题趋势】 图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。 【知识清单】 1：相似的有关概念（☆） 1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。 2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项。 3）比例的性质 性质 内容 性质1 =⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）。 性质2 如果=，那么。 性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。 4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。 5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 即： 。 2：相似三角形的性质与判定（☆☆☆） 1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。 2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。 5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。 3：图形的位似（☆☆） 1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。 2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。 3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。 4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点。 4：相似三角形的应用（☆☆） 1）利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。 ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。 2）利用相似测量河的宽度（测量距离） ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。 ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。 3）借助标杆或直尺测量物体的高度． 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 【易错点归纳】 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。 2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。 3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。 【核心考点】 核心考点1. 相似的有关概念► 例1：（2023·上海奉贤·统考一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·广东湛江·校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（    ） A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2 变式2．（2024·上海杨浦·统考一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 例2：（2023·四川达州·统考中考真题）如图