专题 4.9 相似三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题 4.9 相似三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+中考链接） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】成比例线段与黄金分割 1 【知识点二】由平行线截得的比例线段 2 【知识点三】相似三角形的判定 2 【知识点四】相似三角形的性质与位似 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】比例线段、比例中项与黄金分割 3 【题型 2】平行线分线段成比例 4 【题型 3】相似三角形的判定 5 【题型 4】相似三角形的性质（周长、面积比） 6 【题型 5】相似三角形的实际应用 7 三.题型精析（拓广提升） 8 【题型 6】三角形重心与面积 8 【题型 7】相似与四边形综合 10 【题型 8】相似与圆综合 11 【题型 9】位似与坐标变换 12 【题型 10】综合探究 14 三.中考链接 16 一.知识梳理与解读 【知识点一】成比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a:b=c:d，那么这四条线段叫做成比例线段。比例的基本性质：若 ，则ad=bc（两内项之积等于两外项之积）；反之，若ad=bc且b、d≠0，则 。合比性质：若 ，则 ；等比性质：若 =…=，且b+d+…+n≠0，则 。 把一条线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），若 ，即AC²=AB·BC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比 =（)≈0.618。 【要点提示】 求两条线段a、b的比例中项c：c²=ab，c=（取正值）。运用比例性质时注意b、d等分母不为 0。线段AB有两个黄金分割点（一左一右），较长一段为全长的 倍，较短一段为全长的 倍。 【知识点二】由平行线截得的比例线段 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，l1∥l2∥l3，直线a、b分别与平行线相交于A、B、C和D、E、F，则 =，=，=。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 【要点提示】 由 = 可变形为 =、AB·EF=BC·DE等，灵活运用。它是证明线段成比例、求线段长的重要依据。 【知识点三】相似三角形的判定 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。判定方法：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得三角形与原三角形相似；⑤有一个锐角相等（或两条直角边成比例，或斜边与一直角边成比例）的两个直角三角形相似。 注意：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形；判定时要找准对应元素。 【要点提示】 判定相似关键是找对应元素：用角的相等关系或边的比值定位对应。熟悉“AA”“SAS”“SSS”三种判定，缺一不可；两边对应成比例时必须是夹角相等。 【知识点四】相似三角形的性质与位似 相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；③周长比等于相似比；④面积比等于相似比的平方。 三角形三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心把每条中线分成 2:1 的两段。 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线都经过同一点，这样的图形叫做位似图形，该点叫做位似中心。以坐标原点为位似中心、位似比为k作位似变换时，点 （x,y) 的对应点为 （kx,ky)（同侧）或 （−kx,−ky)（异侧）。 【要点提示】 面积比等于相似比的平方是常考点，务必与周长比（等于相似比）区分。重心将每条中线分成 2:1，可利用比例求线段。位似比k可正可负，画位似图形注意同侧、异侧两种情形。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】比例线段、比例中项与黄金分割 核心考点：比例的基本性质与合比、等比性质；比例线段与比例中项；黄金分割与黄金比。 【例题1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）按要求解答下列问题： （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，求的值． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则______． 【变式3】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 方法总结：比例问题常用“设k法”和比例基本性质；比例中项取正值；黄金比 及其变形要熟记。 【题型 2】平行线分线段成比例 核心考点：平行线分线段成比例定理及其推论。 【例题2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【变式1】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，若，，则的值为______． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在和中，已知，求的长． 方法总结：由平行线写出对应比例式，用“内项积=外项积”求未知线段。 【题型 3】相似三角形的判定 核心考点：两角（AA）、两边夹角（SAS）、三边（SSS）三种判定方法。 【例题3】（26-27九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． （1）若，则与是否相似？为什么？ （2）若，则与是否相似？为什么？ 【变式1】（26-27九年级下·全国·课后作业）可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，，分别是，，的中点．求证：． 方法总结：判定相似先看有无已知角相等，再看对应边的比例，注意对应顺序。 【题型 4】相似三角形的性质（周长、面积比） 核心考点：对应线段比=相似比、周长比=相似比、面积比=相似比的平方。 【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． （1）求与的周长比； （2）若的面积是，求的面积． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，若与四边形的面积之比是，则__________． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，分别为，，边的中点．求： （1）的周长与的周长之比； （2）的面积与的面积之比． 方法总结：牢记“面积比=相似比²，周长比=相似比”；由面积比求相似比需开平方。 【题型 5】相似三角形的实际应用 核心考点：利用相似三角形解决测高、测距等实际问题。 【例题5】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026九年级上·上海·专题练习）如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 方法总结：构造相似三角形（A字型、X字型、含三角形）由对应边成比例列方程求解。 三.题型精析（拓广提升） 【题型 6】三角形重心与面积 核心考点：重心定义与性质：重心把每条中线分成 2:1。 【例题6】（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知是的重心，点在边上且，则______． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是重心．求证：． 方法总结：重心将每条中线分成 2:1 两段；涉及面积时结合中线平分三角形面积来转化。 【题型 7】相似与四边形综合 核心考点：矩形、菱形、正方形中的相似，由相似求面积比、线段比。 【例题7】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； （1）求证：． （2）若，正方形的边长为6，求线段的长． 【变式1】（2025·安徽铜陵·三模）如图，四边形的对角线平分，，，若，则的长度是（   ） A． B．6 C． D． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 【变式3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 方法总结：四边形中找相似三角形，充分利用矩形直角、正方形边相等、菱形对角线垂直平分等性质。 【题型 8】相似与圆综合 核心考点：圆中利用同弧圆周角相等、对顶角相等构造相似三角形。 【例题8】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分交于点，点为边上一点，以为直径的圆恰好经过点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，C、D是圆上的两点，，点D刚好为的中点，交于点E．若，则的长为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2】（25-26九年级下·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过_______秒，动圆与直线相切． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为直径的圆O交于点，点是边上的中点，连接． （1）求证：与圆O相切； （2）连接交于点，若圆O的半径为4，，求的值． 方法总结：圆中找相似常利用同弧圆周角相等、对顶角相等、直径所对圆周角等直角。 【题型 9】位似与坐标变换 核心考点：位似定义、位似比、以原点为位似中心的坐标变换。 【例题9】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【变式2】（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【变式3】（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； （2）直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 方法总结：位似比k>0 同侧（坐标乘k），k<0 异侧（坐标乘k含负号）；坐标位似即横纵坐标同乘位似比。 【题型 10】综合探究 核心考点：综合运用相似解决测高、动点、规律探究等较复杂问题。 【例题10】（24-25九年级上·河南郑州·期末）（1）尝试探究：如图，在正方形中，边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且，若，则______； （2）类比延伸：如图，在长方形中，，，点E，F，G，H分别在长方形的四条边上，并且，若，则______； （3）拓展应用：如图，在中，，，D，E分别在边和上，并且，若，，则和的数量关系为：______，并写出解答过程． 【变式1】（25-26九年级上·上海宝山·期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点E、F在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论： ①；② 对于结论①和②下列说法的是（    ）. A．①错误，②正确； B．①正确，②错误； C．①和②都正确； D．①和②都错误． 【变式2】（专题17手拉手-旋转相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片和如图放置（其中，，．、分别与边相交于、两点．请完成下列探究： （1）若，则的值为__； （2）过作于，若，则的值为__． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 （1）如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 （2）如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 （3）当，且时，若，请直接写出的值． 方法总结：综合题中构造相似三角形是关键，常与方程、函数、面积结合；动点问题注意分类讨论。 三.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·海南·中考真题）小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 二、填空题 5．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 7．（2026·江苏常州·中考真题）如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 三、解答题 9．（2026·广东广州·中考真题）如图，是的外接圆． （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接． ①求证：； ②若，，求长． 10．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： （1）将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.9 相似三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+中考链接） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】成比例线段与黄金分割 1 【知识点二】由平行线截得的比例线段 2 【知识点三】相似三角形的判定 2 【知识点四】相似三角形的性质与位似 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】比例线段、比例中项与黄金分割 3 【题型 2】平行线分线段成比例 5 【题型 3】相似三角形的判定 8 【题型 4】相似三角形的性质（周长、面积比） 10 【题型 5】相似三角形的实际应用 14 三.题型精析（拓广提升） 18 【题型 6】三角形重心与面积 18 【题型 7】相似与四边形综合 23 【题型 8】相似与圆综合 28 【题型 9】位似与坐标变换 34 【题型 10】综合探究 39 三.中考链接 50 一.知识梳理与解读 【知识点一】成比例线段与黄金分割 四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a:b=c:d，那么这四条线段叫做成比例线段。比例的基本性质：若 ，则ad=bc（两内项之积等于两外项之积）；反之，若ad=bc且b、d≠0，则 。合比性质：若 ，则 ；等比性质：若 =…=，且b+d+…+n≠0，则 。 把一条线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），若 ，即AC²=AB·BC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比 =（)≈0.618。 【要点提示】 求两条线段a、b的比例中项c：c²=ab，c=（取正值）。运用比例性质时注意b、d等分母不为 0。线段AB有两个黄金分割点（一左一右），较长一段为全长的 倍，较短一段为全长的 倍。 【知识点二】由平行线截得的比例线段 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，l1∥l2∥l3，直线a、b分别与平行线相交于A、B、C和D、E、F，则 =，=，=。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 【要点提示】 由 = 可变形为 =、AB·EF=BC·DE等，灵活运用。它是证明线段成比例、求线段长的重要依据。 【知识点三】相似三角形的判定 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。判定方法：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得三角形与原三角形相似；⑤有一个锐角相等（或两条直角边成比例，或斜边与一直角边成比例）的两个直角三角形相似。 注意：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形；判定时要找准对应元素。 【要点提示】 判定相似关键是找对应元素：用角的相等关系或边的比值定位对应。熟悉“AA”“SAS”“SSS”三种判定，缺一不可；两边对应成比例时必须是夹角相等。 【知识点四】相似三角形的性质与位似 相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；③周长比等于相似比；④面积比等于相似比的平方。 三角形三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心把每条中线分成 2:1 的两段。 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线都经过同一点，这样的图形叫做位似图形，该点叫做位似中心。以坐标原点为位似中心、位似比为k作位似变换时，点 （x,y) 的对应点为 （kx,ky)（同侧）或 （−kx,−ky)（异侧）。 【要点提示】 面积比等于相似比的平方是常考点，务必与周长比（等于相似比）区分。重心将每条中线分成 2:1，可利用比例求线段。位似比k可正可负，画位似图形注意同侧、异侧两种情形。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】比例线段、比例中项与黄金分割 核心考点：比例的基本性质与合比、等比性质；比例线段与比例中项；黄金分割与黄金比。 【例题1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）按要求解答下列问题： （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） （1）解：实数a、b满足， ∴． （2）解： ∴ ∴． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则______． 【答案】6或 【分析】根据分母和是否为0分类讨论，根据等比性质推导第一种情况：若，且，则；然后讨论分母和为0时的情况，两种情况综合得出结论． 解：由等比性质可得：，此时； 当时，可得， 则； 综上所述，m的值为6或． 【变式3】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果． （1）解：线段，的长为，则可表示为，， ∴，即， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴． 方法总结：比例问题常用“设k法”和比例基本性质；比例中项取正值；黄金比 及其变形要熟记。 【题型 2】平行线分线段成比例 核心考点：平行线分线段成比例定理及其推论。 【例题2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． （1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【变式1】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 解：∵， ∴，，，， ∴正确的结论有①、②、③、⑤，共4个． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，代入即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在和中，已知，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 方法总结：由平行线写出对应比例式，用“内项积=外项积”求未知线段。 【题型 3】相似三角形的判定 核心考点：两角（AA）、两边夹角（SAS）、三边（SSS）三种判定方法。 【例题3】（26-27九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． （1）若，则与是否相似？为什么？ （2）若，则与是否相似？为什么？ 【答案】（1）与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27九年级下·全国·课后作业）可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形判定条件验证选项，注意两边成比例需对应夹角相等. 解：A选项中，仅一组角相等，不满足相似判定条件，不符合题意； B、C选项中，的对应夹角为与，选项给出的角不是两边的夹角，不满足相似判定条件，不符合题意； D选项中，三组对应边成比例，可判定，符合题意． 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，，分别是，，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用三角形中位线定理得到三组线段之间的数量关系，推导出三边对应成比例，依据三边对应成比例证明两个三角形相似． 解：证明：，，分别是，，的中点， ，，是的中位线， ，，， ， ． 方法总结：判定相似先看有无已知角相等，再看对应边的比例，注意对应顺序。 【题型 4】相似三角形的性质（周长、面积比） 核心考点：对应线段比=相似比、周长比=相似比、面积比=相似比的平方。 【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． （1）求与的周长比； （2）若的面积是，求的面积． 【答案】（1）与的周长之比为；（2）的面积为 【分析】（1）先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． （1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，若与四边形的面积之比是，则__________． 【答案】 【分析】根据与四边形的面积之比得出与的面积之比，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 解：∵与四边形的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，分别为，，边的中点．求： （1）的周长与的周长之比； （2）的面积与的面积之比． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得，，，，可证明，，则，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． （1）解：，，分别为，，边的中点．， ，，，， ，， ， ， 即的周长与的周长之比为． （2）解：由（1）知， ， 即的面积与的面积之比为． 方法总结：牢记“面积比=相似比²，周长比=相似比”；由面积比求相似比需开平方。 【题型 5】相似三角形的实际应用 核心考点：利用相似三角形解决测高、测距等实际问题。 【例题5】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】（1）米；（2）米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． （1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 【变式2】（2026九年级上·上海·专题练习）如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论． 解：过作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 方法总结：构造相似三角形（A字型、X字型、含三角形）由对应边成比例列方程求解。 三.题型精析（拓广提升） 【题型 6】三角形重心与面积 核心考点：重心定义与性质：重心把每条中线分成 2:1。 【例题6】（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），；（2），，，理由： 由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 则， ∵两个三角形高相等， ∴， ∴， 同理可得：，； （3）12（4）72 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案； （2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，； （3）求出，，根据可求解； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，从而可求出面积的最大值． 解：（1）设，，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， 同理：，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， ∴，； 故答案为：；； （2）略 （3）∵点O是重心， 由（1）、（2）可知：，， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ， 则，         ∴； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，最大为, ∴的最大面积． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解． 解：由题意知：，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知是的重心，点在边上且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定；如图，分别为的中点，设，则，根据是的重心，得出，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 解：如图，分别为的中点， 设 ∴ ∵是的重心， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是重心．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，过点D作交于H，由G是重心，得到，证明，推出，则，再证明，得到，再证明，即可证明． 解：证明：如图所示，过点D作交于H， ∵G是重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 方法总结：重心将每条中线分成 2:1 两段；涉及面积时结合中线平分三角形面积来转化。 【题型 7】相似与四边形综合 核心考点：矩形、菱形、正方形中的相似，由相似求面积比、线段比。 【例题7】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； （1）求证：． （2）若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）12 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·安徽铜陵·三模）如图，四边形的对角线平分，，，若，则的长度是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点作平分交于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及相似三角形可进行求解． 解：过点作平分交于点，如图． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ． ， ，即， ； 故选A． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 【答案】或 解：由与相似，可得或， 当时，点即如图点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 此时有，即， ∴． 当时，即如图点， 由有，解得， ∴， 综上点E的坐标为或． 【变式3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【分析】（1）利用菱形的性质可得，从而得是的中位线，推出，又由平行四边形的定义可得四边形是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形． （2）证明，即可由对应线段成比例求出的长，进而得出结论． 解：（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，即，， 由（1）知四边形是矩形， ． ， ， ． 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 方法总结：四边形中找相似三角形，充分利用矩形直角、正方形边相等、菱形对角线垂直平分等性质。 【题型 8】相似与圆综合 核心考点：圆中利用同弧圆周角相等、对顶角相等构造相似三角形。 【例题8】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分交于点，点为边上一点，以为直径的圆恰好经过点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由： 连接， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2） 【分析】（1）证明，由得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）先求出，，，由平行线分线段成比例定理即可得到，代入数值即可得到答案； 此题主要考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 解：（1）略 （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，C、D是圆上的两点，，点D刚好为的中点，交于点E．若，则的长为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，关键是判定，推出．过C作交的延长线于F，得到，由圆周角定理推出，得到，因此，判定，推出，得到，令，由勾股定理得到，求出（舍去负值），即可得到． 解：过C作交的延长线于F， ∴， ∵D为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过_______秒，动圆与直线相切． 【答案】或 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键是理解直线与圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，通过构造相似三角形建立方程求解，注意分圆心在点的左侧和右侧两种情况讨论，避免漏解． 解：直线与轴、轴分别交于，两点， 则，， 设运动时间为秒，则动圆圆心坐标为，半径为， 动圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径， 过圆心作于， 则，可得， 当圆心在点左侧时，，由相似三角形对应边成比例： 即，解得：， 当圆心在点右侧时，，同理可得： 即，解得：， 综上，经过或秒，动圆与直线相切． 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为直径的圆O交于点，点是边上的中点，连接． （1）求证：与圆O相切； （2）连接交于点，若圆O的半径为4，，求的值． 【答案】（1）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴是半径     ∴与相切； （2） 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及中位线定理的运用： （1）连接，先证，再证明，即可证出，即可证出与相切； （2）连接，先求出的长，证明与相切，根据相似三角形的性质求出，再证明是的中位线，得出比例式即可求出的值． 解：（1）略 （2）连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴AC=， ∵， ∴与相切， ∴， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∵O是的中点，D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 方法总结：圆中找相似常利用同弧圆周角相等、对顶角相等、直径所对圆周角等直角。 【题型 9】位似与坐标变换 核心考点：位似定义、位似比、以原点为位似中心的坐标变换。 【例题9】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】（1）；；（2）与位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】（）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似的，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． （1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的横纵坐标分别为，即； 的横纵坐标分别为，即； 的横纵坐标分别为，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点，即可得到，图略； （2）解：如图，连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比（位似比）为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 解：由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 【变式2】（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； （2）直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 【答案】（1）；（2），，；（3）， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 解：（1）略； （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； （3）解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． 方法总结：位似比k>0 同侧（坐标乘k），k<0 异侧（坐标乘k含负号）；坐标位似即横纵坐标同乘位似比。 【题型 10】综合探究 核心考点：综合运用相似解决测高、动点、规律探究等较复杂问题。 【例题10】（24-25九年级上·河南郑州·期末）（1）尝试探究：如图，在正方形中，边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且，若，则______； （2）类比延伸：如图，在长方形中，，，点E，F，G，H分别在长方形的四条边上，并且，若，则______； （3）拓展应用：如图，在中，，，D，E分别在边和上，并且，若，，则和的数量关系为：______，并写出解答过程． 【答案】（1）；（2）；（3），过程： 如图（3），过点C作交的延长线于点，设交于点， ，，，分别在边和上， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ，， ， ， 【分析】（1）作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点，由正方形的性质得，，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，于是得到问题的答案； （2）作交于点，交于点，交于点，设交于点，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，求得，于是得到问题的答案； （3）作交的延长线于点，设交于点，因为，所以，则，而，可推导出，再证明，得，再证明，则，所以，于是得到问题的答案． 解：（1）如图，作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点， 四边形是长为的正方形，点，，，分别在正方形的四条边上， ，，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 故答案为：． （2）如图，作交于点，交于点，交于点，设交于点， 四边形是矩形，， ，点，，，分别在矩形的四条边上， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）略 【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·上海宝山·期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点E、F在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论： ①；② 对于结论①和②下列说法的是（    ）. A．①错误，②正确； B．①正确，②错误； C．①和②都正确； D．①和②都错误． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质．熟练掌握：等边对等角，相似三角形的判定定理，根据相似写出比例关系是解题的关键． 由，可得，，证明，，则，即，可判断①的正误；由，，可得，则，即，可判断②的正误． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴，即，②正确，故符合要求； 故选：C． 【变式2】（专题17手拉手-旋转相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片和如图放置（其中，，．、分别与边相交于、两点．请完成下列探究： （1）若，则的值为__； （2）过作于，若，则的值为__． 【答案】 4 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，可得，即可证明，可得，即可求解； （2）过点作于点，可得，由等腰直角三角形的性质可得，，从而可得，即可证得，可得，设，则，，即可求解． 解：（1）和为等腰直角三角形， ，，， ，， ， ∴， ， ， ， 故答案为：4． （2）如图，过点作于点， ， ， ，， ， ∴， ， ， 设，则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题关键是利用图形找到相似三角形，熟练运用相似三角形的性质． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 （1）如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 （2）如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 （3）当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）解：补全图形如下： （1）中结论不成立，正确的结论是：． 证明如下： 如图，过点C作于点Q． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）或 【分析】（1）过点C作于点P．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （2）过点C作于点Q．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （3）分和两种情况进行讨论求解，先证 ，再运用勾股定理求，证，最后求出． （1）解：，理由如下： 如图，过点C作于点P． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）略 （3）解：①如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 方法总结：综合题中构造相似三角形是关键，常与方程、函数、面积结合；动点问题注意分类讨论。 三.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴． 2．（2026·海南·中考真题）小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 3．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 4．（2026·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 二、填空题 5．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 7．（2026·江苏常州·中考真题）如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 【答案】120 【分析】证明，根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 三、解答题 9．（2026·广东广州·中考真题）如图，是的外接圆． （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接． ①求证：； ②若，，求长． 【答案】（1）解：如图，即为的平分线； （2）①证明：由（1）可知：为的平分线， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）根据基本尺规作图：作已知角的平分线的作图方法作图即可； （2）①根据角平分线的定义及同弧所对的圆周角相等，得对应角相等，即可证明两个三角形相似；②由相似得成比例的线段先求得的长即可求解． 解：（1）略 （2）①略 ②解：， ， ，， ， ， ． 10．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： （1）将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． （1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $