微专题06 数列中的复杂递推式问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题06 数列中的复杂递推式问题 【秒杀总结】 1、叠加法：； 2、叠乘法：； 3、构造法（等差，等比）： ①形如 (其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列． ②形如 (其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型． ③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项． 4、取对数法：． 5、由和的关系求数列通项 （1）利用，化为． （2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求． 6、数列求和： （1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型 （2）倒序相加法 （3）裂项相消法 常考题型 数列的通项公式 裂项方法 等差数列型 是公差为的等差数列 是公差为的等差数列 无理型 指数型 对数型 三角型 是公差为的等差数列 阶乘型 【典型例题】 例1．（2024·安徽六安·高三统考期末）某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C． D．若为等比数列，则 例2．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（    ） A．是递增数列 B．是递增数列 C． D． 例3．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·全国·高三专题练习）若数列满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 例5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）在数列中，，，且，则实数t的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 例6．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 例7．（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知数列，，．给出下列四个结论： ①；            ②； ③为递增数列；        ④，使得． 其中所有正确结论的序号是 ． 例8．（2024·河北·高三校联考开学考试）在数列中，满足，则的值为 . 例9．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足.规定，. (1)试证明：； (2)求数列的通项公式； (3)试证明：时，. 例10．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为. (1)若，，，，求； (2)是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由； (3)若，求的最大值. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（    ） A．28 B．140 C．256 D．784 2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，则满足不等式的的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024·全国·高三专题练习）己知正项数列满足，则下列正确的是（    ） A． B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D． 4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）已知数列满足，若，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为递增数列 C． D． 7．（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理､化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，则（    ） A． B．，使得成等比数列 C．，对成等差数列 D． 8．（2024·江西·高三统考期末）已知正项数列满足，，其中，则（    ） A．为单调递减数列 B． C． D． 9．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线