专题15 等腰三角形（选择+填空）【3大考点精讲】-中考高分指南备战2024年中考数学考点总复习（全国通用）

【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 专题15 等腰三角形（原卷版） 【考点1】等腰三角形的性质和判定 1． 等腰三角形的性质和判定 定义 有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底 性质 轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 等边对等角 三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。 判定 ①定义法；②等角对等边 2． 等边三角形的性质和判定 定义 三边长都相等的三角形是等边三角形 性质 轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 等边三角形三个角都相等，分别都等于60° 三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。 判定 定义法 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 有两个角等于60°的三角形是等边三角形 【考点2】角平分线的性质定理与判定定理 1． 角平分线的性质定理与判定定理 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 角平分线常见的处理策略： 1.角平分线＋∥→等腰△ 特别地：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1” ☆其中： 1.平行线的引入方法常见的有： ①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边； ④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行； 2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质； 3.“知2得1”在圆中应用时，常用“角平分线＋等腰→∥”，进而得某角=Rt∠，证直线与圆相切。 2.角平分线＋⊥→等腰△； （即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察） 3.见角平分线，作双垂→得全等或线段相等，亦可以用； （作“⊥”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”； 再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步的应用方向可以是： ①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是角平分线 4.见角平分线，作对称 （即截长补短构全等） 5．圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4； 6．重要思想→倍半角模型： 与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。 【考点3】线段垂直平分线的性质定理与判定定理 线段垂直平分线的性质定理与判定定理 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。 判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。 【考点1】等腰三角形的性质和判定 【例1】（2024·福建模拟）（等腰三角形的概念）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【例2】（2023·天津）（等腰三角形的性质）如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【例3】（2023·甘肃）（等边三角形的性质）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则(    ) A. B. C. D. 【例4】（2024·吉林模拟）（等边三角形的判定）在解答一道习题时，嘉嘉先作出了的一条高，又作出了的一条角平分线，发现作的是同一条线段，则一定是(    ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【例5】（2023·吉林模拟）（等腰三角形的判定）下列能判定三角形是等腰三角形的是(    ) A. 有两个角为、 B. 有两个角为、 C. 有两个角为、 D. 有两个角为、 · 特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。 · 等边三角形面积的求解方法： 1.（2023·天津）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是  (    ) A. B. C. D. 2.（2024·吉林模拟）下列能判定三角形是等腰三角形的是(    ) A. 有两个角分别为、 B. 有两个角分别为、 C. 有两个角分别为、 D. 有两个角分别为， 3.（2023·河北模拟）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.（2023·山东）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角