第1篇 专题一 第3讲 三角函数与解三角形(练案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

复习练案[３]　 　 第一篇　 专题一　 第 ３ 讲　 三角函数与解三角形 １. (２０２３􀅰北京平谷统考模拟预测)在△ＡＢＣ 中ꎬ 角 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ且 ａｔａｎ Ｂ ＝ ２ｂｓｉｎ Ａ. (１)求角 Ｂ 的大小ꎻ (２)若 ＢＣ ＝ ４ꎬＡ ＝ π４ ꎬ求△ＡＢＣ 的面积. ２. (２０２３􀅰天津和平统考一模)已知△ＡＢＣ 的内角 ＡꎬＢꎬ Ｃ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ 且 ( ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ｂ)ｔａｎ Ａ ＝ － ３ ａ. (１)求 Ａ 的大小ꎻ (２)若 ａ ＝ ７ ꎬｂ ＝ １ꎬ ①求△ＡＢＣ 的面积ꎻ ②求 ｃｏｓ(２Ｃ － Ａ) . ３. (２０２３􀅰云南昆明统考一模)“不以规矩ꎬ不能成 方圆”ꎬ出自«孟子􀅰离娄章句上» . “规”指圆规ꎬ “矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角 尺ꎬ是用来测量、画圆和方形图案的工具. 有一块 圆形木板ꎬ以“矩”量之ꎬ较长边为 １０ ｃｍꎬ较短边 为 ５ ｃｍꎬ如图所示ꎬ将这块圆形木板截出一块三 角形木块ꎬ三角形顶点 ＡꎬＢꎬＣ 都在圆周上ꎬ角 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ满足 ｃ ＝ ４ ５ ｃｍ. (１)求 ｓｉｎ Ｃꎻ (２)若△ＡＢＣ 的面积为 ８ ｃｍ２ꎬ且 ａ > ｃꎬ求△ＡＢＣ 的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —８６１— ４. (２０２３􀅰山东淄博统考一模)在△ＡＢＣ 中ꎬ角 Ａꎬ ＢꎬＣ 的对边分别是 ａꎬｂꎬｃꎬ满足(ａ ＋ ｂ ＋ ｃ)(ａ ＋ ｂ － ｃ) ＝ ａｂ. (１)求角 Ｃꎻ (２)若角 Ｃ 的平分线交 ＡＢ 于点 Ｄꎬ且 ＣＤ ＝ ２ꎬ求 ２ａ ＋ ｂ 的最小值. ５. (２０２３􀅰济南三模)已知 ｆ( ｘ) ＝ ｓｉｎ ωｘ(ω > ０)ꎬ 其图象相邻对称轴间的距离为 π ２ ꎬ若将其图象向 左平移 ５π １２个单位得到函数 ｙ ＝ ｇ(ｘ)的图象. (１) 求函数 ｙ ＝ ｇ ( ｘ) 的解析式及图象的对称 中心ꎻ (２)在钝角△ＡＢＣ 中ꎬ内角 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别是 ａꎬｂꎬｃꎬ若 ｆ Ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ｇ Ａ２ － π ６ æ è ç ö ø ÷ꎬ求２ｃｂ ＋ ５ ｃｏｓ Ａ 的取值范围. ６. (２０２３􀅰宁夏银川校联考一模)在△ＡＢＣ 中ꎬ角 ＡꎬＢꎬＣ 所对的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬｃ２ ＋ ａｃ ＝ ｂ２ . (１)证明:Ｂ ＝ ２Ｃꎻ (２)求ａ ＋ ｂｃ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９６１— 因为 ０ < Ｃ < π２ ꎬ０ < π － π ３ － Ｃ < π ２ ꎬ 所以 π６ < Ｃ < π ２ ꎬ故 ｔａｎ Ｃ > ３ ３ ꎬ所以 ０ < １ ｔａｎ Ｃ < ３ ꎬ则 ３ ２ < ａ < ６. 所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２ × ３ａ × ３ ２ ＝ ３ ３ ４ ａ ∈ ９ ３ ８ ꎬ ９ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ꎬ 所以△ＡＢＣ 面积的取值范围是 ９ ３ ８ ꎬ ９ ３ ２ æ è ç ö ø ÷. 核心考点 ５　 三角函数与解三角形的实际问题 典例研析􀅰悟方法 典例５ 　 【解析】 　 (１) 在△ＡＢＣ 中ꎬ由正弦定理得 ＡＣｓｉｎ Ｂ ＝ ＡＢｓｉｎ∠ＢＣＡꎬ 即 １２ － ４ ３ ｓｉｎ(１８０° － ４５° － ７５°) ＝ ＡＢ ｓｉｎ ７５°ꎬ ＡＢ ＝ (１２ － ４ ３ )􀅰 ６ ＋ ２４ ３ ２ ＝ ４ ２ ꎬ 故 １ 号机器人和 ２ 号机器人之间的距离为４