第1篇 专题四 第4讲 空间向量与距离，探究性问题(练案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

复习练案[１５]　 　 　 　 　 　 第一篇　 专题四　 第 ４ 讲　 空间向量与距离、探究性问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单项选择题 １. 已知点 Ｐ(５ꎬ３ꎬ６)ꎬ直线 ｌ 过点 Ａ(２ꎬ３ꎬ１)ꎬ且一 个方向向量为 ｌ ＝ (１ꎬ０ꎬ － １)ꎬ则点 Ｐ 到直线 ｌ 的 距离为 (　 　 ) Ａ. ２ ２ Ｂ. ４ ２ Ｃ. ２ ３ Ｄ. ４ ３ ２. 在长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＭꎬＮ 分别为 Ｃ１Ｄ１ꎬＡＢ 的中点ꎬＡＢ ＝ ４ꎬ则 ＭＮ 与平面 ＢＣＣ１Ｂ１ 的距离为 (　 　 ) Ａ. ４ Ｂ. ２ ２ Ｃ. ２ Ｄ. ２ ３. (２０２３􀅰雁塔区校级三模)已知大小为 ６０°的二 面角 α － ｌ － β 棱上有两点 ＡꎬＢꎬＡＣ⊂αꎬＡＣ⊥ ｌꎬ ＢＤ⊂βꎬＢＤ⊥ｌꎬ若 ＡＣ ＝ ３ꎬＢＤ ＝ ３ꎬＡＢ ＝ ２ １０ ꎬ则 ＣＤ 的长为 (　 　 ) Ａ. ２２ Ｂ. ４９ Ｃ. ７ Ｄ. ２１ ４. (２０２３􀅰滁州模拟)«九章算术􀅰商功»:“斜解立 方ꎬ得两堑堵ꎬ斜解堑堵ꎬ其一为阳马ꎬ一为鳖臑. 阳马居二ꎬ鳖臑居一ꎬ不易之率也. 合两鳖臑三而 一ꎬ验之以基ꎬ其形露矣. ”文中“阳马”是底面为 长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥. 在阳 马 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬ侧棱 ＰＡ⊥底面 ＡＢＣＤꎬ且 ＰＡ ＝ １ꎬＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２ꎬ则点 Ａ 到平面 ＰＢＤ 的距离为 (　 　 ) Ａ. ２３ Ｂ. ６ ３ Ｃ. ６ ２ Ｄ. ３ ３ ５. 已知正四棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的底面边长为 ２ꎬ侧棱长为 ４ꎬＥ 为 ＣＤ１ 的中点ꎬ则点 Ａ１ 到平面 ＢＤＥ 的距离为 (　 　 ) Ａ. ３２ Ｂ. ２ Ｃ. ９ ４ Ｄ. ８ ３ ６. (２０２３􀅰小店区校级模拟)如图ꎬ在正四棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＡＡ１ ＝ ２ꎬＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １ꎬ动点 Ｐ、Ｑ 分别在线段 Ｃ１Ｄ、ＡＣ 上ꎬ则线段 ＰＱ 长度的 最小值是 (　 　 ) Ａ. ２３ Ｂ. ３ ３ Ｃ. ２ ３ Ｄ. ５ ３ 二、多项选择题 ７. 已知直线 ｌ 的方向向量 ｎ ＝ (１ꎬ０ꎬ － １)ꎬＡ(２ꎬ１ꎬ － ３)为直线 ｌ 上一点ꎬ若点 Ｐ( － １ꎬ０ꎬ － ２)为直 线 ｌ 外一点ꎬ则点 Ｐ 到直线 ｌ 上任意一点 Ｑ 的距 离可能为 (　 　 ) Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ２ Ｄ. １ ８. (２０２３􀅰梅河口市校级二模)已知四面体 ＡＢＣＤ 的棱长均为 ２ꎬ则 (　 　 ) Ａ. ＡＢ⊥ＣＤ Ｂ. 直线 ＡＢ 与平面 ＢＣＤ 所成的角的正弦值为 ６３ Ｃ. 点 Ａ 到平面 ＢＣＤ 的距离为 ３３ Ｄ. 两相邻侧面夹角的余弦值为 １６ 三、填空题 ９. (２０２３􀅰福建统考一模)已知空间中三点 Ａ(１ꎬ１ꎬ ３ )ꎬＢ(１ꎬ － １ꎬ２)ꎬＣ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬ则点 Ａ 到直线 ＢＣ 的距离为　 　 　 　 . １０. (２０２３􀅰浙江温州统考模拟预测)在棱长为 １ 的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＥ 为线段 Ａ１Ｂ１ 的中点ꎬＦ 为线段 ＡＢ 的中点ꎬ则直线 ＦＣ 到平 面 ＡＥＣ１ 的距离为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９８１— 四、解答题 １１. 如图ꎬ在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ棱长为 １ꎬＥꎬＦ 分别为 Ｄ１Ｃ１ꎬＣ１Ｃ 的中点ꎬ求下列问题: (１)求点 Ｅ 到直线 ＡＦ 的距离ꎻ (２)求点 Ｂ１ 到平面 Ａ１ＢＥ 的距离. １２. (２０２３􀅰鼓楼区校级模拟)如图 １ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ２ꎬ∠ＢＡＣ ＝ ２π３ ꎬＥ 为 ＢＣ 的中点ꎬＦ 为 ＡＢ 上一点ꎬ且 ＥＦ⊥ＡＢ. 将△ＢＥＦ 沿 ＥＦ 翻折到 △Ｂ′ＥＦ 的位置ꎬ如图 ２. (１ ) 当 ＡＢ′ ＝ ２ 时ꎬ 证明: 平面 Ｂ′ ＡＥ ⊥ 平 面 ＡＢＣꎻ (２)已知二面角 Ｂ′ － ＥＦ － Ａ 的大小为π４ ꎬ边 ＡＣ 上是否存在点 Ｍꎬ使得直线 Ｂ′Ｅ 与平面 Ｂ′ＭＦ所成角的正弦值为 １０１０ ?