第1篇 专题四 第3讲 空间向量与空间角(练案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

复习练案[１４]　 　 第一篇　 专题四　 第 ３ 讲　 空间向量与空间角 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单项选择题 １. (２０２３􀅰河南模拟)在正三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＡＢ ＝ ＡＡ１ꎬＤ 为 Ａ１Ｂ１ 的中点ꎬＥ 为 Ａ１Ｃ１ 的中 点ꎬ则异面直线 ＡＤ 与 ＢＥ 所成角的余弦值为 (　 　 ) Ａ. ６６ Ｂ. ３５ １０ Ｃ. ３５ １４ Ｄ. ３５ ７ ２. 在我国古代数学名著«九章算术»中ꎬ将底面为 直角三角形ꎬ且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑 堵. 已知在堑堵 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ ＡＢ ＝ ２ꎬＢＣ ＝ ２ ２ ꎬ若直线 ＣＡ１ 与直线 ＡＢ 所成角 为 ６０°ꎬ则 ＡＡ１ ＝ (　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ２ Ｃ. ２ ２ Ｄ. ２ ３ ３. 如图为一个四棱锥与三棱锥 的组合体ꎬ ＣꎬＤꎬ Ｅ 三点共 线ꎬ已知三棱锥 Ｐ － ＡＤＥ 四 个面都为直角三角形ꎬ且 ＥＤ ⊥ＡＤꎬＰＡ⊥平面 ＡＢＣＥꎬＰＥ ＝３ꎬＣＤ ＝ ＡＤ ＝ ２ꎬＥＤ ＝ １ꎬ则直线 ＰＣ 与平面 ＰＡＥ 所成角的正弦值等于 (　 　 ) Ａ. ３４ Ｂ. １０ ５ Ｃ. １５ ５ Ｄ. １３ ４ ４. ( ２０２３ 􀅰阿勒泰地区三模) 正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＥꎬＦꎬＧ 分别是棱 ＡＡ１ꎬＡＢꎬＡＤ 的中 点ꎬ则平面 ＡＣＣ１Ａ１ 与平面 ＥＦＧ 所成角为 (　 　 ) Ａ. ３０° Ｂ. ４５° Ｃ. ６０° Ｄ. ９０° ５. 如图ꎬ在正四棱柱 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ底面边 长为 ２ꎬ直线 ＣＣ１ 与平面 ＡＣＤ１ 所成角的正弦值 为 １ ３ ꎬ则正四棱柱的高为 (　 　 ) Ａ. ２ Ｂ. ３ Ｃ. ４ Ｄ. ５ ６. (２０２３􀅰平江县模拟)已知三棱锥 Ｄ － ＡＢＣ 的所 有顶点都在球 Ｏ 的球面上ꎬＡＤ⊥ＢＤꎬＡＣ⊥ＢＣꎬ ∠ＤＡＢ ＝∠ＣＢＡ ＝ ３０°ꎬ二面角 Ｄ － ＡＢ － Ｃ 的大小 为 ６０°ꎬ若球 Ｏ 的表面积等于 ３６πꎬ则三棱锥 Ｄ － ＡＢＣ 的体积等于 (　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ２７ ３８ Ｃ. ７ Ｄ. ２ ７ ３ 二、多项选择题 ７. (２０２３􀅰龙华区校级模拟) 如图ꎬ四棱锥 Ｓ － ＡＢＣＤ的底面为正方形ꎬＳＤ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ则下列 结论正确的是 (　 　 ) Ａ. ＡＢ⊥ＳＡ Ｂ. ＡＣ 与 ＳＢ 所成的角为 ９０° Ｃ. ＡＤ 与 ＳＢ 所成的角等于 ＣＤ 与 ＳＢ 所成的角 Ｄ. ＡＢ 与 ＳＣ 所成的角等于 ＤＣ 与 ＳＡ 所成的角 ８. 如图ꎬ在三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ底面为正三角 形ꎬ且∠Ａ１ＡＢ ＝ ∠Ａ１ＡＣ ＝ ４５°ꎬＡＢ ＝ １ꎬ则下列说 法正确的是 (　 　 ) Ａ. 直线 Ａ１Ａ 与底面 Ａ１Ｂ１Ｃ１ 所成角的余弦值 为 ６ ３ Ｂ. 设 ＢＣ 中点为 Ｐꎬ则线段 ＰＡ１ 的长度的最小值 为 １ ２ Ｃ. 平面 Ａ１Ｂ１ＢＡ 与平面 ＢＣＣ１Ｂ１ 夹角的余弦值 为 ２ ２ Ｄ. 直线 Ａ１Ａ 与平面 Ｃ１ＡＢ１ 所成角的余弦值的最 大值为 ３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —７８１— 三、填空题 ９. (２０２３􀅰潍坊模拟)已知四面体 ＡＢＣＤ 满足 ＡＢ⊥ ＢＣꎬＢＣ⊥ＣＤꎬＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ ２ ６ ꎬ且该四面体 的体积为 １２ ２ ꎬ则异面直线 ＡＤ 与 ＢＣ 所成的角 的大小为　 　 　 　 . １０. 如图ꎬ在四棱锥 Ｓ － ＡＢＣＤ 中ꎬＳＡ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ 底面 ＡＢＣＤ 为直角梯形ꎬ ＡＤ∥ ＢＣꎬ∠ＢＡＤ ＝ ９０°ꎬ且 ＡＢ ＝ ４ꎬＳＡ ＝ ３ꎬＥꎬＦ 分别为线段 ＢＣꎬＳＢ 上的一点(端点除外)ꎬ满足ＳＦＢＦ ＝ ＣＥ ＢＥ ＝ λꎬ则当 实数 λ 的值为　 　 　 　 时ꎬ∠ＡＦＥ 为直角. 四、解答题 １１. (２０２３􀅰大埔县三模) 如图所示ꎬ在几何体 ＰＡＢＣＤ中ꎬＡＤ⊥平面 ＰＡＢꎬ点 Ｃ 在平面 ＰＡＢ 的 投影在线段 ＰＢ 上(ＢＣ < ＰＣ)ꎬＢＰ ＝ ６ꎬＡＢ ＝ ＡＰ ＝ ２ ３ ꎬ