第1篇 专题三 第5讲 利用导数研究函数的容点问题(练案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

复习练案[11]第一篇专题三第5讲利用导数研究函数的零点向题 1.(2023·西城区校级三模)已知函数f八x)=ax- 3.(2023:平顶山模拟)已知函数八)=甚+hx xln x. (1)当a=1时，求f代x)的零点： -ax,其中e为自然对数的底数. (2)讨论f八x)在[1，e]上的最大值： (1)当a=1时，求f八x)的单调区间： (2)若函数g(x)=八x)-盖有两个零点西 (x1<x2),证明：x·x2>e2 2.(2023·包河区模拟)已知函数f八x)=ln(x- m)-plnx,其中p,m>0. (1)若x=4时，f(x)有极值-ln2,求p,m的值： (2)设m≤p-1,讨论f(x)的零点个数. 一181一 4.(2023·锡山区校级一模)已知函数f(x)=6.(2023·鼓楼区校级模拟)设a>-1,函数f(x) -alnx++1-a,xER. =(x+1)nx+(a-1)x+1. (1)判断(x)的零点个数，并证明你的结论： (1)当a=2时，证明：f(x)≥0在[1，+)上恒 (2)若a≥0，记f(x)的一个零点为x,若x1+a 成立： =sinx1,求证：x1-lnxo≤0. (2)判断函数f八x)的零点个数 5.(2023·叙州区校级模拟)已知函数f(x)=a(x -1)-lnx. (1)若a=1,求f代x)的最小值： (2)若x≥1时，f(x)有两个零点，求a的取值 范围. -182-所以)e,-2h2 由条件知，p>1 (2f()=1+号-4+ F+(x+1其中x>0. 4 当e(骨吕时()>0，)单调递增：当e 当a≤0时，显然'(x)>0,所以(x)在(0，+)上单调 (+时f八)<0)单调递减 递增，八x)至多有1个零点，不合题意，舍去： 当a>0时，令f'(x)=0,则a=x+上+ 4x 故气=，吕是心x)的极大值点，且极大值为八) (x+1)下 (+1,其中x>0 设g(x)=x+ 4x 1-ph 一+ 当m=p-1时xo）=0,此时fx)有一个零点 则g'()=(x-1).x+4+1)(2+1 x2(x+1) 当m<p-1时)>0记m,=m +m,则0<m<L 当xe(0,1)时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减， 当xe(1,+)时，g(x)>0,g(x)在(1，+x)上单调 取m则号<)=咖 递增， pln +m" 所以g(x)=g(1)=3 广+m-c0, 所以当a>3时f'(x)=0有2个零点 当0<a<3时∫'(x)>0,/(x)在(0，+x)上单调递增， 根据零点存在定理，当xe(侣，时，存在一个零点 显然不合题意， 取与=时，则与>)=h(属，-m)-咖与< 所以f八x)有三个零点时，a的取值范围是(3，+x): 2-2 In(px2 pln x =In 1 =0. 又因为() --a-aln 由零点存在定理可知，当xe -+时，存在一个 m 零点， 此时八x)有两个零点. 综上所述，当m=p-1时，八x)只有一个零点：当m<P 所以/(）+)=0， 1时代x)有两个零点. 解法二：由题意，函数八x)的零点即方程f(x)=0的根， 又f1)=0,x1<<3 即方程ln(-m)=lnx的根， 所以x1<1<, 所以1·名=1， 即m=做-的根，记g)=m-P,后（丹，+} 故1··= 由g(x)=p-m-=p(1-x-1)=0,得到x=1>m 复习练案[11] 1.(1)/x)=ar-xnx的定义域为(0，+x), 当xe(丹时.g()>0.g()单调递增，e(1, 当a=1时fx)=x-xlnx,零点为x=e +)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， (2)f(x）=a-1-lnx, 令f(x)=0得x=e1, 又（丹）=m-(倍<m,因为p>1,当x趋向正无穷 所以在(0，e-)上了'(x)>0八x)单调递增， 时，g(x)=m-趋向负无穷， 在(e,+)上∫'(x)<0x)单调递减， 且g(x)的最大值为g(1)=P-1, 所以当e-≤I(即a≤1)时，在[1，e]上f八x)单调递减. 综上所述，当m=p-1时代x)只有一个零点：当m<P- f(x).=f(1)=a, 1时代x)有两个零点 当e-≥e(即a≥2)时，在[1，e]上f(x)单调递增， （①)已知)=喜+血-，函数定义城为0，+0 fr)m=fe）=ae-e, 当l<e-l<e(即1<a<2)时，在[e-.e]上fx)单调递 当a=1时)=之+lh-名 减.在[1，e-]上八x)单调递增. 所以fx）n=f代e-l)=ae-1-e-1(a-1)=e- 可得)号+-1=1-到（侵+） 2.(1)f'(x)==p)x+ml 当0<x<1时，(x)>0,f(x)单调递增；当x>1时， x(p