2024年 九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》专题训练

2024年春九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》 专题训练（附答案） 1．如图，在中，，是的平分线，是边上的高，垂足为，设． (1)探究与发现 ①如图1，若，则的度数为 　　，的度数为 　　； ②试探究与的数量关系，并说明理由． (2)拓展与思考 如图2，的平分线交于点．当时，求的度数． 2．【题目】如图①，在矩形中，，F是延长线上一点，且 ，连接，交于点E，连接．试判断线段与的位置关系． 【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法： 证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形是矩形， ∴．∴（依据1）∵，∴，∴，∵， ∴（依据2），∴垂直平分． (1)【反思交流】 上述证明过程中的“依据1”是 　 　；“依据2”是 　 　； (2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求证：点G在线段的垂直平分线上； 【拓展应用】如图③，将图②中的绕点F顺时针旋转得到．分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接，若，直接写出m的值． 3．【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题： ①； ②； ③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】 （2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】 （3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 4．如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）． 发现： (1)___________； (2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长． 探究： (3)当时，的面积为___________； (4)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 拓展： (5)当时，求出此时t的值． 5．如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点． 探究发现： 如图1，与是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由． 拓展应用： （1）如图1，有怎样的数量关系？并加以证明． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）． 6．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图-，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：        【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图-，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗﹖请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数： 【拓展提高】 (3)如图，若，，平分，试说明． 7．已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接． (1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论； (3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论． 8．一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 已知AD是的内角平分线．求证：． [初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明． 请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； [类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明； [应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________． 9．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，为边上的一点且，．将沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．  10．综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】