2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . (1)求证：是 的切线； (2)若 ，求 的长； 2．如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 3．如图，是的直径，点C是上一点，于点D，点E是圆外一点，平分． (1)若，，求的长； (2)求证：是的切线． 4．如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 5．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 6．如图，在中，四边形为圆内接四边形，为直径，过作交延长线于，． (1)求证：为切线； (2)若，，求的半径长． 7．如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是的切线，求的值． 8．如图，中，，以为直径的交边于点，是边的中点，连接、． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 9．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若时，，求的直径的长． 10．如图，是直径，C为上一点． (1)尺规作图：求作一点，使得与B关于直线对称； (2)在（1）的条件下，在直线上取一点D，连接，若，求证：是圆O的切线． 11．如图1所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，连接，平分交于点F，直线l过点F与线段的延长线交于点E．且满足． (1)求证：直线l是的切线； (2)如图2所示，若点D是弧的中点．延长交直线l于点G，且； ①求证：；②若，，求四边形的周长． 12．如图，内接于，，点E在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 13．在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 14．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．    (1)求证：是的切线； (2)延长和交于点，若，求的值． 15．如图，已知是的直径，点A是延长线上一点，点B是圆上任意一点，连接，且满足． (1)求证：是的切线． (2)已知，求的长． (3)在（2）的条件下，若点E是弧的中点，连接交于点F，连接，过点B作交延长线于点G，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1（1）证明：连接，      在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2）解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， 又， ∴， ∴． 2．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴ ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴．    3．（1）∵，， ∴的长为； （2）∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线． 4．（1）证明：如图，连接，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵的半径为5，即， ∴， ∴． 5．1）证明：如图所示，连接， 圆心在上， 是的直径， ， 平分， ， ， ，即， ∵， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， 则垂直平分， ， 为的直径， ， 在中，，即， ． 6．（1）证明：连接，如图， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：过作于， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5． 7．（1）在矩形中，，，， 为圆的直径， ，即， 是的中点， ， ； （2）在中，，， 根据勾股定理得：，， ， 在中，； （3）， 是的直径， 是的切线， ， ， ， 设，， ， ， 解得：，（负值舍去）， ． 8．（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（）知，，， ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， 解得， ∴，， ∴， ∴的半径为． 9．（1）如图，作于点H，连接， ∴， ∵点C为劣弧中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∵