2024年初中数学中考复习备考： 等腰三角形专项练

2024年初中数学中考复习备考： 等腰三角形专项练 1．如图，在与中，与交于点E，且，． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有． (1)求证：； (2)若，求的值． 3．在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度． 4．如图，在等边中，是的中点，是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若于点，求证：是的中点； (3)若，求的长． 5．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长． 6．如图1，已知等边三角形的边长为，点P，Q分别从点A，B同时出发，沿边向点B和点C运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点M． (1)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形； (2)求证：； (3)在点P，Q分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形？ (4)如图2，若点P，Q在运动到点B，C后继续在射线上运动，直线交于点M，当是直角三角形时，求点P的运动时间． 7．如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点，且，． (1)求证是等边三角形． (2)线段，，三者有什么数量关系？写出你的判断过程． 8．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 11．如图，在和中，点在边上，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 12．如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求半径的长． 13．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 14．如图，在中，，为边延长线上一点，且，过点作，连接，，． (1)求证：． (2)若，延长交于点． ①求的值； ②求证：． 15．如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、的于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 2．(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．， 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 设， ∵四边形周长为32， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ∴，． 4．(1) (3) 【详解】（1）解：是等边三角形， ∴， ， ， 又， ∴； （2）证明：连接， ，是的中点， ∴， ∵， ， ， 又， 是的中点； （3）解：，， ， ， ， ． 5．【详解】（1）证明：连接，    是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：①如图，为所作；    ②平分， ， ， 而， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 6．(1)1或2 (3)； (4)． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，则，， ①当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ②当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ∴当点P、Q运动到第1秒或第2秒时，为直角三角形． 故答案为：1或2； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点P、Q的速度相同， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴； （4）解：在等边三角形中，， ∴， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．【详解】（1）解：证明：在等边三角形中， ，， ∵， ∴， 同理，， ∴， 是等边三角形； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵，， ∴，， ∴， 平分，且， ∴ ∵， ∴， ， ， 同理，， ∵， ． 8．(2) 【详解】（1）如图所示，连接， ∵以为直径的交于点D，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）连接，，则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ∴ 又∵是直径， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 9．(2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴