第二十二章 专题五 构造三角形的中位线解决问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(冀教版)

年级下册·JJ版 数 学 第二十二章　四边形 专题五　构造三角形的中位线解决问题 类型1　连接两点构造三角形的中位线 1.如图所示，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O， 点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO＝6 cm，BC＝8 cm.求四边形 DEFG的周长. 解：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED＝BC. ∵F是BO的中点，G是CO的中点， ∴FG∥BC且FG＝BC， ∴ED＝FG＝BC＝4 cm， 同理GD＝EF＝AO＝3 cm， ∴四边形DEFG的周长为3＋4＋3＋4＝14（cm）. 2.如图所示，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，连接CD，E，F，G分别是 BC，AD，CD的中点，连接EG，EF，CA的延长线相交于点H. 思路分析：（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD， 由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD ＋∠CAD. （2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFH，进而可得：AH＝AF. （1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD， 由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD ＋∠CAD. 证明：（1）∵E，G分别是BC，CD的中点， ∴EG是△BDC的中位线，∴EG∥BD， ∴∠CGE＝∠BDC. ∵∠BDC＝∠ACD＋∠CAD， ∴∠CGE＝∠ACD＋∠CAD. 求证：（1）∠CGE＝∠ACD＋∠CAD. （2）如图所示，连接FG.∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点， ∴EG＝BD，FG＝AC. ∵BD＝AC，∴GE＝GF， ∴∠GFE＝∠GEF. ∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H. ∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH， ∴∠H＝∠AFH，∴AH＝AF. （2）AH＝AF. 由 类型2　利用角平分线＋垂直构造三角形的中位线 3.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，点E为BC的中点， AB＝5，AC＝7，求线段DE的长. 解：如图所示，延长BD交AC于点F. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝∠ADF. ∵AD＝AD，∴△ABD≌△AFD， ∴AF＝AB，BD＝DF.∵AB＝5，AC＝7， ∴CF＝AC－AF＝AC－AB＝7－5＝2. ∵点E为BC的中点， ∴DE为△BCF的中位线，∴DE＝FC＝1. 4.如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝ 90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由. 思路分析：首先证明△AGF≌△ACF，则GF＝CF，所以DF是△BCG的中位 线，利用三角形的中位线定理即可求解. 首先证明△AGF≌△ACF，则GF＝CF，所以DF是△BCG的中位 线，利用三角形的中位线定理即可求解. 解：DF∥AB.理由如下：如图所示，延长CF交AB于点G. ∵AE是角平分线， ∴∠GAF＝∠CAF. 在△AGF和△ACF中， ∴△AGF≌△ACF（ASA），∴GF＝CF，即点F是GC的中 点. ∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点， ∴DF是△BCG的中位线，∴DF∥AB. 类型3　倍长法构造三角形的中位线 5.推理能力（1）【问题探究】如图①所示，已知AD是△ABC的中线，延长AD至 点E，使DE＝AD，连接BE，CE，可得四边形ABEC，求证：四边形ABEC是平行 四边形.请你完善以下证明过程： ∵AD是△ABC的中线， ∴ ＝ ⁠. ∵DE＝AD， BD　 CD　 ∴四边形ABEC是平行四边形. 思路分析：（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明. （2）延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF，利用SAS证明△ADB≌△FDC，得 CF＝BA，∠DCF＝∠DBA，可说明四边形CEMF是平行四边形，得ME＝CF， 即可证明结论. （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明. （3）延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF，由（2）知，ME＝AB＝4， CE＝ MF，则ME＋MC 取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小，利用等面积 法求出CM的长，再利用勾股定理即可求得答案. （2）【拓展提升】如图②所示，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A重 合），过点M，C分别作ME∥AB，CE∥AD，连接AE. 求证：四边形ABME是平行四边形. 解：（2）证明：如图②所示，延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△ADB和△FDC中， ∴△ADB≌△FDC（SAS）， ∴CF＝BA，∠DCF＝∠DBA，∴AB∥CF. ∵AB∥ME，∴ME∥CF. ∵CE∥MF，∴四边形CEMF是平行四边形， ∴ME＝CF，∴ME＝AB， ∴四边形ABME是平行四边形. （3）【灵活应用】如图③所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D 是BC的中点，点M是直线AD上的动点，且ME∥AB，CE∥AD，当ME＋MC取最 小值时，求线段CE的长. （3）如图④所示，延长AD到点F，使DF＝AD，连接CF. 由（2）知，ME＝AB＝4，CE＝MF， 则ME＋MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝3， ∴由勾股定理，得AD＝5， 利用等面积法，得×5×CM＝×3×4，解得CM＝. 在Rt△CMF中，由勾股定理，得MF＝＝＝，∴CE＝. 类型4　已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 6.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点F在AC上，AF＝FC，AD与 BF交于点E.求证：点E是AD的中点. 证明：如图所示，取CF的中点M，连接DM. ∵AF＝FC，∴AF＝FM＝CM. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD，∴DM是△BFC的中位线， ∴DM∥BF. ∵EF∥DM，且AF＝FM， ∴AE＝DE，即点E是AD的中点. 7.如图所示，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中线，AH＝CD，DE∥AC， BE∥CD，连接CE，延长AH交CD于点M，交CE于点N. 思路分析：（1）证△ADC≌△DBE（ASA），得DC＝BE，再由BE∥CD，即可 得出结论. （2）取BH的中点G，连接DG，由三角形中位线定理得DG＝AH，DG∥AH， 再证DG＝CD，得∠DCG＝30°，即∠BCD＝30°. （1）证△ADC≌△DBE（ASA），得DC＝BE，再由BE∥CD，即可 得出结论. 解：（1）证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDB. ∵BE∥CD，∴∠CDA＝∠EBD. ∵CD是△ABC的中线，∴AD＝DB. 在△ADC和△DBE中， ∴△ADC≌△DBE（ASA），∴CD＝BE. ∵BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形. （1）求证：四边形BDCE是平行四边形. （2）如图所示，取BH的中点G，连接DG， ∵CD是△ABC的中线， ∴DG是△ABH的中位线， ∴DG＝AH，DG∥AH. ∵AH是△ABC的高，∴DG⊥BC， ∴∠CGD＝90°. （2）求∠BCD的度数. ∵AH＝CD，∴DG＝CD， ∴∠DCG＝30°，即∠BCD＝30°. $$