2024年中考数学二轮复习——折叠问题 讲义

2024年中考数学二轮复习——折叠问题 例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为　 　． 解：①如图1，当∠AFB′＝90°时． 在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CDBC＝4， ∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠DFB＝∠ACB， 又∵∠DBF＝∠ABC， ∴△BDF∽△BAC， ∴，即， 解得：BF， 设BE＝B'E＝x，则EFx， ∵∠B＝∠FB'E， ∴sin∠B＝sin∠FB'E， ∴， ∴， 解得x＝2． ∴BE＝2． ②如图2中，当∠AB′F＝90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H． ∵AD＝AD，CD＝DB′， ∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL）， ∴AC＝AB′＝6， ∵将△BDE沿直线DE翻折， ∴∠B＝∠DB'E， ∵AB'⊥DB'，EH⊥AH， ∴DB'∥EH， ∴∠DB'E＝∠B'EH， ∴∠B＝∠B'EH， ∴sin∠B＝sin∠B'EH， 设BE＝x，则B'Hx，EHx， 在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2， ∴， 解得x， ∴BE． 则BE的长为2或． 例2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC边上不与端点重合的一动点，连接AE，并将△ABE沿直线AE翻折，得点B的对应点F，连接CF，若△CEF为直角三角形，则BE的长度为　 　． 解：分为两种情况： ①当∠CEF＝90°时，如图1所示，此时四边形ABEF为正方形， ∴BE＝AB＝2； ②当∠CFE＝90°时，如图2所示，此时点F落在对角线AC上， 设BE＝x，则EF＝x，CE＝4﹣x， 由勾股定理得： AC2， ∵sin∠ACB， ∴， 解之得：x1， ∴BE1． 综上所述，BE的长度为2或1． 例3．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是边BC上一点，BE＝5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使B点的对应点P落在长方形的对称轴上，则BF的长是　 　． 解：分两种情况： ①当P落在AB边的垂直平分线上，且F在BA延长线上时，如图1所示： 作PM⊥BC于M， 则PMAB＝4，∠PMB＝90°， 由折叠的性质得：PE＝BE＝5， ∴EM3， ∴BM＝BE+EM＝8， ∵∠BFE+∠FBP＝∠FBP+∠PBM＝90°， ∴∠BFE＝∠PBM， ∴tan∠BFE＝tan∠PBM， ∴， ∴， ∴BF＝10； 当P落在AB边的垂直平分线上，且F在线段BA上时，如图2所示： 作PN⊥BC于N， 则PNAB＝4，∠PNB＝90°， 由折叠的性质得：PE＝BE＝5， ∴EN3， ∴BN＝BE﹣EN＝2， 同理可得，则BF； ②当P落在BC边的垂直平分线上时，如图3所示： 则BNBC＝6，∠PNB＝90°， 由折叠的性质得：PE＝BE＝5， ∴EN＝BN﹣BE＝1，PN2， 同理可得， ∴， ∴BF； 综上所述，BF的长是10或或； 故答案为：10或或． 例4．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，点D在斜边AB上，将Rt△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线BC上的点B'处，连接DB'、AB'，当△AB'D是直角三角形时，则BD的长为　　． 解：如图1，过D作DH⊥BC于H， 设DH＝a， 在Rt△ADH中，BD＝2a，BHa， ∴DB'＝BD＝2a，BB'＝2BH＝2a， ∵将Rt△ABC沿着过点D的一条直线翻折， ∴BD＝B'D， ∴∠B＝∠DB'B＝30°， ∴∠ADB'＝60°， ∵△AB'D是直角三角形， ∴①当∠AB'D＝90°时，如图1， 在Rt△AB'D中，∠B'AD＝90°﹣∠ADB'＝30°， ∴AD＝2B'D＝4a，AB'B'D＝2a， 在Rt△ACB'中，B'C＝BC﹣BB'2a， 根据勾股定理得，AB'2＝B'C2+AC2， ∴（2a）2＝（2a）2+1， ∴a， ∴BD＝2a； ②当∠B'AD＝90°时，如图2，同①的方法得，BD， 综上所述：BD或． 例5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，当△A'EF的边A'F与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是　 　． 解：如图1， 若A'F∥BC时， ∴∠A'FB＝∠B， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝∠A'FB＝60°， ∵将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF， ∴∠AFE＝∠A