第六章 专题六 巧妙构造平行四边形解题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS版 数 学 第六章　平行四边形 专题六　巧妙构造平行四边形解题 求线段的长 1.在△ABC中，如果AB＝6，AC＝8，那么BC边上中线AD的取值范围为 （　B　） （提示：可以构造平行四边形） A.2＜AD＜14 B.1＜AD＜7 C.6＜AD＜8 D.12＜AD＜16 B 2.如图所示，在▱ABCD中，点E在CD的延长线上，若AE∥BD，EC＝4，则AB的 长是 ⁠. 2　 3.如图所示，点A，B，C，D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O.若 小正方形的边长为1，则DO的长为 ⁠. 思路分析：连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得AE∥BC，由勾股定理得 AD＝5，从而有AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝ ∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3. 3　 连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得AE∥BC，由勾股定理得 AD＝5，从而有AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝ ∠DEA， 再利用平行线的性质可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3. 4.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，AD＝3，CD＝5， BC＝16，求AB的长. 解：如图所示，过点A作AE∥CD，交BC于点E， ∴∠AEB＝∠C. ∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，EC＝AD＝3， ∴BE＝BC－CE＝13. 又∵∠B＋∠C＝90°， ∴∠B＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°. 在Rt△ABE中，AB＝＝12. 证明线段相等 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在AD上，点F在BC 上，AE＝CF，EF与对角线BD交于点O.求证：O是EF的中点. 思路分析：连接EB，DF.由已知条件容易证得四边形EBFD是平行四边形，根据 平行四边形的性质可证，EF与BD互相平分，所以O是EF的中点. 连接EB，DF.由已知条件容易证得四边形EBFD是平行四边形，根据 平行四边形的性质可证，EF与BD互相平分，所以O是EF的中点. 证明：连接EB，DF，如图所示. ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴ED∥BF. 又∵AD＝BC，AE＝CF，∴ED＝BF. ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴EO＝OF，即O是EF的中点. 证明线段互相平分 6.如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别在DC，AB上，DE＝BF，直线EF分别与 AD，CB的延长线相交于点G，H. 求证：AC，GH互相平分. 思路分析：连接GC，AH.由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，∠ADC ＝∠ABC，证出∠AGE＝∠CHF，∠GDE＝∠HBF，由AAS证明 △DEG≌△BFH，得出DG＝BH，证出AG＝CH，得出四边形AGCH是平行四边 形，即可得出结论. 连接GC，AH.由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC， ∠ADC ＝∠ABC，证出∠AGE＝∠CHF，∠GDE＝∠HBF，由AAS证明 △DEG≌△BFH，得出DG＝BH，证出AG＝CH，得出四边形AGCH是平行 四边形，即可得出结论. 证明：连接AH，CG，如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∴∠AGH＝∠CHG，∠GDE＝∠HBF. 在△DEG和△BFH中，∠AGH＝∠CHG，∠GDE＝∠HBF，DE＝BF， ∴△DEG≌△BFH（AAS）， ∴DG＝BH，∴AG＝CH. 又∵AG∥CH，∴四边形AGCH是平行四边形， ∴AC，GH互相平分. 证明线段平行 7.如图所示，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，E，F分别为OB，OD的中点， 过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H，连接GF，EH. 求证：GF∥EH. 思路分析：连接EG，FH，根据平行四边形的性质得OB＝OD，AB∥CD，再证 明△AOG≌△COH，得OG＝OH，再根据平行四边形的判定得四边形EHFG为平 行四边形，进而由平行四边形的性质得结论. 连接EG，FH，根据平行四边形的性质得OB＝OD，AB∥CD，再证 明△AOG≌△COH，得OG＝OH，再根据平行四边形的判定得四边形EHFG为平 行四边形，进而由平行四边形的性质得结论. 证明：如图所示，连接GE，FH. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAO＝∠DCO. 又∵∠AOG＝∠COH， ∴△AOG≌△COH，∴OG＝OH. 又∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形GEHF为平行四边形， ∴GF∥EH. 证明线段的不等关系 8.如图所示，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD. 思路分析： 延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，CM，根据平行四边形的判定得到平行四边形ABMC，推出AC＝BM，根据三角形的三边关系得出AB＋BM＞AM，代入求出即可. 证明：如图所示，延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM，CM. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC. ∵AD＝DM，∴四边形ABMC是平行四边形， ∴BM＝AC. 在△ABM中，AB＋BM＞AM， 即AB＋AC＞2AD. 求解或证明面积问题 9.如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都 是等边三角形.下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行 四边形；④四边形AEFD的面积为20.其中所有正确的序号是（　B　） A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 第9题图 B 思路分析：由AB2＋AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°.由SAS推出△ABC≌△DBF， 得AC＝DF＝AE＝8.同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，则四 边形AEFD是平行四边形.由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°.过点A作 AG⊥DF于点G，求出AG的长即可求出S▱AEFD＝24. 由AB2＋AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°.由SAS推出△ABC≌△DBF， 得AC＝DF＝AE＝8.同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，则四 边形AEFD是平行四边形.由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°.过点A作 AG⊥DF于点G，求出AG的长即可求出S▱AEFD＝24. 10.如图所示，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD 于点F，连接AF与DE相交于点P.若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的 面积为（　B　） A.24 cm2 B.17 cm2 C.13 cm2 D.10 cm2 第10题图 思路分析：连接EF，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD， AB∥CD，再证明 △BEQ≌△FCQ得到BE＝CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行 四边形的性质得到S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边 形，所以S△PEF＝S△APD＝3 cm2，然后计算S△BEF＋S△PEF得到阴影部分的面积. B 连接EF，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD， AB∥CD，再证明 △BEQ≌△FCQ得到BE＝CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行 四边形的性质得到S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边 形，所以S△PEF＝S△APD＝3 cm2，然后计算S△BEF＋S△PEF 得到阴影部分的面积. 11.如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝5，E是边 CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F. （1）求证：四边形BDFC是平行四边形. 解：（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE. 又∵E是边CD的中点，∴CE＝DE. 在△BEC与△FED中， ∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE＝FE， ∴四边形BDFC是平行四边形. （2）若BD＝BC，求四边形BDFC的面积. 解：（2）∵BD＝BC＝5， ∴AB＝＝＝4， ∴四边形BDFC的面积＝BC·AB＝5×4＝20. $$