第一章 三角形的证明 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS版 数 学 第一章　三角形的证明 本章综合提升 1.数形结合思想 数形结合思想是把数量关系与图形变换结合起来分析与探究.“数”与“形” 是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而 数量关系又常常可以通过几何图形直观地反映和描述出来. 本章中涉及三角形的有关角的大小或线段的长短等问题时，我们可 以借助数形结合思想解答. 　　【例1】如图所示，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角 三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部 分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形B，C的边长分别为b，c.已知 ∠1＝∠2＝∠3＝α，当α（0°＜α＜90°）变化时，b与c满足的关系式是（　A　） 【例1】图 A A.b＋c＝n B.b2＋c2＝n2 C.bc＝n D.bc＝n2 　　【变式训练1】 （2023·深圳三模）如图所示，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长 为半径画弧，交AC于点E，F.再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧， 两弧交于点D.连接BD交AC于点G，∠ABG度数为（　D　） 【变式训练1】图 A.15° B.20° C.25° D.30° D 2.转化思想 转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式. 转化思想是数学思想方法的核心，其他数学思想方法都是转化的手段或策略.初中 数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现. 在本章中证明线段相等、角相等等的问题常用转化思想转化为证明 三角形全等的问题来解决，将一些实际问题转化为数学问题来解决. 　　【例2】如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列 问题： （1）如图②所示，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是 ∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数 量关系.（不需证明） 解：如图①所示. （1）FE＝FD. （2）如图③所示，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，AD，CE相交于点F，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成 立，请证明；若不成立，请说明理由. 解：如图①所示.（2）成立. 证明：如图③所示，过点F作FG⊥AB于点G，作FH⊥BC于点H，作FK⊥AC于点K， ∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴FG＝FK＝FH. 在四边形BGFH中，∠GFH＝360°－60°－90°×2＝120°. ∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∠B＝60°， ∴∠FAC＋∠FCA＝（180°－60°）＝60°. 在△AFC中，∠AFC＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝180°－60°＝120°， ∴∠EFD＝∠AFC＝120°＝∠GFH， ∴∠EFG＝∠DFH. 在△EFG和△DFH中， ∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD. 　　【变式训练2】 在△ABC中，D是BC边的点（不与点B，C重合），连接AD. （1）如图①所示，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD＝ ⁠. 1∶1　 （2）如图②所示，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则 S△ABD∶S△ACD＝ .（用含m，n的代数式表示） m∶n　 （3）如图③所示，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接 BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ⁠. 9　 3.分类讨论思想 　　分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象 按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个 问题的解答. 本章中涉及等腰到三角形的角度或边长时要注意分类讨论思想的运 用.分类时必须遵循两个原则：（1）分类标准一致；（2）分类的情况不重不漏. 【例3】　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，D为AC中点，E 为边AB上一动点，当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长可以 是 ⁠. 　　【变式训练3】 在△ABC中，∠B＝40°，AB的垂直平分线交直线BC于点D.若∠DAC＝15°， 则∠ACB的度数为