第一章 专题三 角平分线中三种常用作辅助线的方法(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS版 数 学 第一章　三角形的证明 专题三　角平分线中三种常用作辅助线的方法 作垂线段构造对称图形 1.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且 AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证： （1）AM⊥DM. 证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM. （2）M为BC的中点. 证明：（2）如图所示，作MN⊥AD交AD于点N. ∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点. 2. 如图所示，点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，B，D分 别在AM，AN上，且2AE＝AD＋AB.求证：∠1＋∠2＝180°. 思路分析：通过作辅助线，由三角形全等得到AF＝AE（如图①所示）或AG＝ AD（如图②所示），由已知条件从而得证. 通过作辅助线，由三角形全等得到AF＝AE（如图①所示）或 AG＝ AD（如图②所示），由已知条件从而得证. 证明：方法1：如图①所示，作CF⊥AN于点F， ∵AC平分∠MAN，∴∠3＝∠4. ∵CE⊥AM，∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°， ∴△ACF≌△ACE（AAS），∴AF＝AE. ∵2AE＝AD＋AB， ∴AE＝（AD＋AB）＝（AF－DF＋AE＋EB）＝AE＋（BE－DF）， ∴BE－DF＝0，∴BE＝DF，∴△DFC≌△BEC（SAS），∴∠5＝∠2， ∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°. 方法2：如图②所示，在AM上截取AG＝AD，连接CG， ∵∠3＝∠4，AC为公共边，∴△ADC≌△AGC（SAS）， ∴∠1＝∠5. ∵2AE＝AD＋AB， ∴AE＝（AD＋AB）＝（AG＋AE＋EB）＝（AE－EG＋AE＋EB） ＝AE＋（EB－EG）， ∴EB－EG＝0，∴EG＝EB， 又∵CE⊥AB，∴BC＝GC， ∴∠2＝∠6.∵∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝180°. 补形法构造对称图形 3.如图所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一点， AE⊥CD交其延长线于点E，且AE＝CD，BD＝8 cm，求点D到AC的距离. 思路分析：延长AE交CB的延长线于点F，作DG⊥AC于点G，利用等角的余角相 等得到∠EAD＝∠DCB，然后根据“AAS”判断△ABF≌△CBD，得到AF＝ CD，而AE＝CD，所以AE＝AF，即AE＝EF，而AE⊥CD，根据等腰三角形的 判定方法可得到△AFC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得CD平分 ∠ACF，然后根据角平分线的性质得到DG＝DB＝8 cm. 延长AE交CB的延长线于点F，作DG⊥AC于点G，利用等角的余角相 等得到∠EAD＝∠DCB，然后根据“AAS”判断△ABF≌△CBD，得到AF＝ CD， 而AE＝CD，所以AE＝AF，即AE＝EF，而AE⊥CD， 根据等腰三角形的判定方法可得到△AFC为等腰三角形， 再根据等腰三角形的性质得CD平分∠ACF，然后根据 角平分线的性质得到DG＝DB＝8 cm. 解：如图所示，延长AE交CB的延长线于点F，作DG⊥AC于点G. ∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°. ∵∠ABC＝90°，∠ADE＝∠CDB，∴∠EAD＝∠DCB. 在△ABF和△CBD中， ​ ∴△ABF≌△CBD（ASA），∴AF＝CD. ∵AE＝CD，∴AE＝AF，即AE＝EF. ∵AE⊥CD，∴△AFC为等腰三角形，∴CD平分∠ACF. ∵DG⊥AC，DB⊥BC，∴DG＝DB＝8 cm， 即点D到AC的距离为8 cm. 折叠法构造对称图形 4.如图所示，在△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB＝AC＋CD，求证： ∠C＝2∠B. 思路分析：在AB上截取AE＝AC，连接DE，求出CD＝EB，∠CAD＝∠EAD， 根据SAS证△CAD≌△EAD，推出∠C＝∠AED，CD＝DE＝BE，求出∠B＝ ∠EDB，根据三角形外角性质求出∠AED＝2∠B，即可得出答案. 在AB上截取AE＝AC，连接DE，求出CD＝EB，∠CAD＝∠EAD， 根据SAS证△CAD≌△EAD，推出∠C＝∠AED，CD＝DE＝BE，求出 ∠B＝ ∠EDB，根据三角形外角性质求出∠AED＝2∠B，即可得出答案. 证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图所示， ∵AB＝A