专题02 压轴经典：半角模型精讲练（六大类）-2024年中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题02压轴经典：半角模型精讲练（六大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、半角模型之正方形 1 二、半角模型之等补四边形 2 三、半角模型之菱形 3 四、半角模型之三角形 4 五、半角模型之矩形 5 六、半角模型之综合提升 6 模型精讲 半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。 主要解法： 一、经典之旋转法。二、创新之翻折法。三、常规之截长补短法。 熟练掌握： 正方形半角模型，等腰（直角）三角形半角模型，等补四边形半角模型，矩形半角模型。 学会变通： 1.矩形通过截或补变成正方形。 2.含60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。 正方形半角模型 如图，已知在正方形ABCD中，∠EAF =45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。 1. BE+DF=EF； 1. △CEF的周长等于正方形的边长的2倍。 1. S△ABE+S△ADF=S△AEF 1. 点A到MN的距离等于正方形的边长；即AH=AD 1. MN2=MB2+DN2； 1. 点A,M,F,D四点共圆。点A,B,E,N四点共圆. 点M,E,F,N四点共圆。点N,F,C,E,M五点共圆。 1. 证明△AFM和△AEN为等腰直角三角形。 1. 1. S△AMF=2S△AEF 10. 5组相似 △HMN∼△DFN(图9); △HMN∼△BME(图10) △AMN∼△BNA(图11) △AMN∼△DMA(图12) △ AMN∽△ AFE 证明如下:图1 结论1 (图1)将△ABE逆时针旋转90°，与△ADE'重合. 则AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45° 又∵ AF=AF ∴△EAF ≌ △E'AF（SAS）(图2) ∴EF=E'F=DE'+DF ∴BE+DF=EF(结论1成立) 结论2 由结论1可得:图2 C△CEF=CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC 即△CEF的周长等于正方形的边长的2倍。(结论二成立) 结论3 ∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS） ∴ S△EAF= S△E'AF 由旋转可得 S△E'AF = S△ABE+S△ADF ∴ S△ABE+S△ADF=S△AEF(结论3成立) 结论4 ∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS） ∴ AH=AD(全等三角形对应高相等) 即点A到MN的距离等于正方形的边长(结论4成立). 结论5 证明: (图3)把△△AND顺时针旋转90°，使AD与AB重合。 可得AG=AD,BG=DN, ∠BAG=∠DAN. ∠ABG=∠D=45°.图4 图3 ∠GBM=90°. 易得∠GAM=∠NAM=45°. ∴ △GAM≅△AMN(图4) ∴ GM=MN 在Rt △GMB中 BG2+BM2=GM2 ∴ MN2=MB2+DN2 （等腰直角三角形的半角可以看作正方形的一半。） 结论6: 由题意可得：图5 ∠BDF=∠FHE=45°（等弦对等角） ⇒点A,M,F,D四点共圆。(图5) ⇒∠AMF=90° ∠HFM=45° 图6 同理，可得点A,B,E,N四点共圆。(图6) ∠ANE=90°,∠NEH=45° ∠NEH=∠HFM ⇒点M,E,F,N四点共圆。(图7) 图7 ∠FME=∠ECF=∠FME=90° ⇒点N,F,C,E,M五点共圆。(图7) 图8 结论7:(图8)△AFM和△AEN为等腰直角三角形。 由结论6共圆可得,∠AMF=90°,∠ MAF=∠ AFM=45° 所以△ AMF为等腰直角三角形. 同理△ ANE为等腰直角三角形. 结论8: 结论8图 由结论7可得, °= ∠MAN=∠FAE ∴ △ AMN∽△ AFE(结论8图) = 结论:9 S△AMF=2S△AEF图9 ∵ △ AMN∽△ AFE ∴ =(2= ∴ S△AMF=2S△AEF 结论10. ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴ △HMN∼△DFN(图9) 同理可证: △HMN∼△BME(图10) △AMN∼△BNA(图11) △AMN∼△DMA(图12) △ AMN∽△ AFE (结论8图)图12 图11 图10 等腰（直角）三角形 如图2-1，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，以C为顶点的45°的角在△ABC形内旋转，角的两边交AB于点E、F，图2-1 求证：EF2＝AE2+BF2． 证明：把△CBF绕点C顺时针旋转90°，得到△ACG．连接EG