专题01 倍长中线 精讲练-2024年中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题01倍长中线精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 小贴士 1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的. 2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。 3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。 4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转…… 三角形 图1-1 图1-2 如图1-1：已知AD是△ABC的中线。 求证：（AB-AC)<AD<（AB+AC) 证明：如图1-2 法一：延长AD到点E，使DE=AD. 又∵CD=BD,∠3=∠4 ∴ △ADB≅△EDC ∴ AB=CE;∠ABC=∠2;∠1=∠E;AB∥CE 在△ACE中， AB-AC<AE<AB+AC 又∵AD=AE ∴（AB-AC)<AD<（AB+AC) 法二：作CE ∥AB,交AD延长线于点E。 则：∠ABC=∠2;∠1=∠E 又 ∵ AD是△ABC的中线。 ∴ BD=CD ∴ △ADB≅△EDC ∴ AD=DE，AB=CE 在△ACE中， AB-AC<AE<AB+AC 又∵AD=AE ∴（AB-AC)<AD<（AB+AC) 中心对称图形 图2-1 图2-2 如图2-1： 已知：点F是▱ABCD边CD的中点,且AF平分∠CAF。 求证： EF⊥AE, AE=AD+CE 证明：延长AF,BC交于点G. ∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥BG ∴ ∠1=∠G, ∠ADC=∠FCG 又∵CF=FD ∴ △ADF≅△GCF ∴ AD=CG，AF=GF 又∵∠1=∠2 ∴∠2=∠G ∴AE=CE ∴EF⊥AG ∵EC=CE+CG ∴AE=AD+CE 实战训练 一、倍长中线与中线取值范围。 1．（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围． 解：∵点D是边的中点，∴， 将绕点D旋转得到， 即得，且A，D，E三点共线， 在中，可得的取值范围是： ； ∴的取值范围是： ． （2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 2．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、倍长中线与三角形 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 4．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．    5．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：． 6．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是　　． A．；B．；C．；D． 由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是　　． 【初步运用】 （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （3）如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 7．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE 三、四边形与倍长中线的融合。 8．如图，