专题09 点线式秒杀函数压轴题一：特殊四边形的存在性（平行四边形、矩形、菱形与正方形）-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题09点线式秒杀函数压轴题一：特殊四边形的存在性 平行四边形、矩形、菱形与正方形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 二次函数特殊图形的存在性，是都是中考数学的压轴大题之一。本专题精选中考真题中的平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性试题，详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，为你的中考助力。 一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。 1.平行四边形解题思路（中点公式法一般不画图）： 先写出四个点的坐标，然后利用中点公式，分情况列出方程组即可。 2.矩形解题思路（一般先画图）： 法一：借助直角三角形，改斜归正，借助三角函数或一线三角证明相似，再利用距离公式，可得方程，从而求解。 法二：先证明是平行四边形，再借助垂直公式，证明是矩形。 3.菱形解题思路（一般先画图）： 法一：先证明平行四边形，再利用距离公式，证明邻边相等，与证等腰三角形相同。 法二：改斜归正，证明全等，借助三大距离公式即可完成。 4.正方形解题思路(精准作图)： 法一：改斜归正，可得全等，利用三大距离公式，即可得到方程，求解即可。 法二：正方形是最特殊的四边形，画图后，借且关键点，也可以求解。 三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。 本专题用到的黄金公式有：三大距离公式（详见专题10），中点公式，平行公式，垂直公式，斜率公式。 中点公式，和的一半 平行公式 垂直公式 斜率公式 实战训练 一、压轴经典一：平行四边形的存在性。 1．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 二、压轴经典三：矩形的存在性。 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛