2024年中考数学专题复习讲义 ：动点引起的二次函数面积问题

二次函数压轴题系列 精讲二 2024中考专题复习复习 动点引起的二次函数中的面积问题 一、面积定值与等值问题 1 .定值问题 【问题描述】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标． 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为， 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3）， ，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值． 思路2：构造等积变形 同底等高三角形面积相等． 取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2， 在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点． 当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可． 当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可． 2 . 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标． 思路1：铅垂法 计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点， 另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标． 【真题再现】 1．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M． （1）求抛物线的关系式及点M的坐标； （2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标； 2．（2023齐齐哈尔）如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，，点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标    3．（2023黑龙江）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、面积最值问题 铅锤高水平宽求面积，“铅垂高、水平宽” S△ABC=S△ACD+S△BCD S△ABC=S△ACD－S△BCD =CD·AE+CD·BF =CD·AE－CD·BF =CD（AE+BF） =CD·BG =CD·BG 其中，称CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽. 【真题再现】 1．（2023·湖南娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点,当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值. 2．（2023·湖南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值． 3．（2023·四川广安）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 4．（2023浦东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标； 5．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．