1.3弧度制课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§1.3 弧度制 在体积的度量中，我们引入一个以单位线段为棱长的单位立方体，以它为单位来度量其他几何体的体积. 在面积的度量中，我们引入一个以单位线段为边长的单位正方形，以它为单位来度量其他图形的面积. 在线段长度的度量中，我们引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线的长度. 1 3 2 1 2 4 1 3 2 课堂导入 显然，角的度量单位(单位角度)，与单位线段无关. 即在几何图形的各种度量中，除了角度之外，其他的度量(长度、 面积、体积等)都是以单位线段为基础的. 能否把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢？ 问题1. 在平面几何中,1°的角(单位角度）是怎样定义的？ 在角的度量中，我们选取一个周角，把他360等分而得到角的度量单位(单位角度)，以它为单位去度量其他角的大小. 用度做单位来度量角的制度叫角度制 角度制 弧度制 答案是：有. 早在1748年，数学家欧拉就在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中明确提出了弧度制的概念，他提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个周角等于2π弧度，1弧度等于周角的，这一思想将线段与角度联系起来，使得角度也可以用单位长度来度量. 思考： 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础长度的度量上呢？ 新知探究 在初中，我们就学过弧长公式，这个公式直接把长度(弧长)和角度()联系了起来. 我们规定，以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角. ②在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度量角的方法称作是弧度制. ①在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号表示，读作弧度（通常“弧度”或“”省略不写）. 弧度制 如图,在单位圆中, 的长为 1 ,则∠AOB=1 rad. 弧度制 ④一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零. ③角的正负由角的终边的旋转方向决定. B l=2 O B r =1 l=2 A O A r =1 在单位圆中， 的长为2,∠AOB= -2 rad. O r =1 A l=0 (B) 在单位圆中， 的长为0,∠AOB= 0 rad. 在单位圆中， 的长为2,∠AOB= 2 rad. 总结：不同的角,其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来,确立了角与实数间的一一对应关系. 正角 负角 零角 角的集合 实数集 R 负数 0 正数 思考： 弧度数与实数一一对应的，为什么？你能通过试验证明吗？ “皮尺”缠绕法 “皮尺”缠绕法： 如图，单位圆与数轴相切于原点，把数轴看作是一个“皮尺”， 对于任意一个正数，他对应正半轴上的点，线段按逆时针方向缠绕 到圆上，点对应单位圆上点. 这样就得到一个以点为顶点，以为始边，经过逆时针旋转以 为终边的圆心角，该角的弧度数为正数. 即对于任意一个正角，正半轴上有唯一一个正数与之对应. 同理，对于任意一个负角，负半轴上也有唯一一个负数与之对应. 思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 如图，以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），则角(设)与其对应的弧长有什么关系？ ①当时，， 即在单位圆中，1个圆周所对应的弧长是， ②当时，， 即在单位圆中，的角所对应的弧长是， ③当时，， 即在单位圆中，长度为1的弧所对应的圆心角是(度). 角度与弧度制的换算 1，弧度与角度的换算公式： ； . 2，弧度制的应用： ①根据需要，可以用以上公式进行弧度与角度换算. ②对于任意角，每一个角都可以表示成： 角度制， 弧度制. 角度与弧度制的换算 3，一些特殊角的度数与弧度数对应表： 注意：对于之外的特殊角，不难得到它们的弧度数. 例如 ，.                       角 度 弧 度 例1 (1)把45°化成弧度制； (2)把600°化成弧度制. 解： (1)； (2). 例2 (1)把化成角度制； (2)把化成角度制. 解： (1)； (2). 练习1：(1)化为角度制； (2)化为弧度制. 解： (1); (2). 在进行角度制和弧度制的换算时,应注意: (1) 用“弧度”为单位度量角时,“弧度”两字或“rad”可以不写.但用“度”(°)为单