第五章 专题四 分类讨论思想在圆中的应用(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(鲁教版五四制)

年级下册·鲁教版 数学 第五章　圆 专题四　分类讨论思想在圆中的应用 类型1　关于点和圆的位置关系的分类讨论 1.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（　C　） A. B. C.或 D.a＋b或a－b 2.已知☉O的直径CD＝10 cm，AB是☉O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，求AC的长. 思路分析： 　先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，应分两种情况进行讨论.　⁠ C 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，应分两种情况进 行讨论. 解：分两种情况讨论，如图①②所示，连接AC，AO. ∵☉O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm， ∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5 cm. 当C点位置如图①所示时， ∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB， ∴OM＝＝＝3（cm）， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8（cm）， ∴AC＝＝＝4（cm）. 当C点位置如图②所示时，同理可得OM＝3 cm， ∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2（cm）， ∴AC＝＝＝2（cm）. 综上所述，AC的长为4 cm或2 cm. 类型2　关于直线和圆的位置关系的分类讨论 3.在平面直角坐标系中，已知点A（－1，2），B（7，8）.若在坐标轴上取点C，使△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（　B　） A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 4.已知☉O的直径为8 cm，直线l上一点P到圆心O的距离OP＝6 cm，则直线l与☉O的位置关系是 　相离、相切或相交　⁠. 5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点O为边AB上一点（不与A重合），☉O是以点O为圆心，AO长为半径的圆.当☉O与三角形边的交点个数为3个时，求OA的取值范围. 思路分析： 　根据题意画出相应图形，找到☉O与三角形边的交点个数变为4个时OA的长和三角形三个顶点在☉O上时OA的长即可求解.　⁠ B 相离、相切或相交 根据题意画出相应图形，找到☉O与三角形边的交点个数变为4个时 OA的长和三角形三个顶点在☉O上时OA的长即可求解. 解：如图所示，当圆心从O1到O3的过程中，☉O与三角形边的交点个数为3个，当恰好到达O3时则变为4个交点，作O3D⊥BC于点D，则∠O3BD＝∠ABC，∠O3DB＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△O3BD. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5. 设O3A＝a，则O3B＝5－a，O3D＝a， ∴＝，解得a＝， 经检验，a＝是原方程的解，∴当0＜OA＜时，☉O与三角形边的交点个数为3个. 当点O到达AB的中点O4时，☉O4与三角形边的交点个数为3个，此时O4A＝2.5. 综上，当☉O与三角形边的交点个数为3个时，OA的取值范围是0＜OA＜或OA＝2.5. 类型3　关于两平行弦问题的分类讨论 6.已知☉O的半径为5 cm，弦AB∥CD，且AB＝8 cm，CD＝6 cm，则弦AB，CD间的距离为（　D　） A.1 cm B.7 cm C.5 cm D.7 cm或1 cm 7.已知圆的两弦AB，CD的长是方程x2－42x＋432＝0的两根，且AB∥CD，又知两弦之间的距离为3，求圆的半径. 思路分析： 　首先解一元二次方程求得方程的解，即弦的长度，设圆的半径是r，利用垂径定理以及勾股定理即可表示出两条弦的弦心距，根据两弦之间的距离为3，即两条弦的弦心距的和或差是3，即可得到一个关于r的方程，从而求得r的值.　⁠ D 首先解一元二次方程求得方程的解，即弦的长度，设圆的半径是 r，利用垂径定理以及勾股定理即可表示出两条弦的弦心距，根据两弦之间的距 离为3，即两条弦的弦心距的和或差是3，即可得到一个关于r的方程，从而求得r 的值. 解：x2－42x＋432＝0，（x－24）（x－18）＝0，解得x1＝24，x2＝18.不妨设AB＝24，CD＝18.设圆的半径是r.作OM⊥AB于点M，作ON⊥CD于点N，则AM＝12，CN＝9. 连接OA，OC，如图①②所示. 由图可知OM＝＝＝，ON＝.如图①所示，当AB与CD在圆心的两边时，OM＋ON＝3.则＋＝3，方程无解； 如图②所示，当AB与CD在圆心的同侧时，ON－OM＝3， 则－＝3，解得r＝15. 综上，圆的半径为15. 类型4　关于弦和弓形问题的分类讨论 8.如图所示，一下水管道横截面为圆， 直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升 　10或70　⁠cm. 10或70 9.已知横断面直径为2米的圆形下水管道的水面宽AB＝1.2米，求下水管道中水的最大深度. 思路分析： 　本题要分两种情况：作OE⊥AB交AB于点D，交☉O于点E，连接OB，则OB＝1米，BD＝0.6米，利用勾股定理可求出OD，进而求出水的最大深度.　⁠ 解：分两种情况讨论： （1）如图①所示，作OE⊥AB交AB于点D，交☉O于点E，连接OB.∵DB＝AD＝AB＝0.6米，OB＝1米， ∴OD＝＝＝0.8（米）. ∴DE＝OE－OD＝1－0.8＝0.2（米）. 本题要分两种情况：作OE⊥AB交AB于点D，交☉O于点E， 连接OB，则OB＝1米，BD＝0.6米，利用勾股定理可求出OD，进而求出水 的最大深度. （2）如图②所示，作OF⊥AB交AB于点D，交☉O于点F，反向延长FO交☉O于点E. ∵BD＝AD＝AB＝0.6米，OB＝1米， ∴OD＝＝＝0.8（米）， ∴DE＝OE＋OD＝1＋0.8＝1.8（米）. 综上所述，下水管道中水的最大深度为1.8 米. 类型5　关于圆周角问题的分类讨论 10.在半径为1的☉O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数为（　C　） A.45° B.60° C.45°或135° D.60°或120° 11.我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可. C 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知：如图①②③所示，在☉O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB. 求证：∠ACB＝∠AOB. ⁠ ⁠ 证明：如图①所示，当圆心O在∠ACB的边上时. ∵OC＝OB， ∴∠C＝∠B. ∵∠AOB＝∠C＋∠B， ∴∠AOB＝2∠C. 即∠C＝∠AOB. 请你选择情形（2）或情形（3），并证明. 思路分析： 　情形（2）：延长AO交☉O于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即可.　 　情形（3）：延长AO交☉O于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即可.　⁠ 情形（2）：延长AO交☉O于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周 角相等及三角形外角的性质求解即可. 　情形（3）：延长AO交☉O于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即可.　⁠ 情形（1） 解：选择情形（2）.证明：如图①所示，当圆心O在∠ACB的内部时，延长AO交☉O于点D，连接BD， 则∠D＝∠C（同弧所对的圆周角都相等）. ∵OB＝OD，∴∠D＝∠OBD. ∵∠AOB＝∠D＋∠OBD， ∴∠AOB＝2∠D＝2∠C，即∠C＝∠AOB. 选择情形（3）.证明：如图②所示，当圆心O在∠ACB的外部时，延长AO交☉O于点D，连接BD， 则∠D＝∠C（同弧所对的圆周角都相等）. ∵OB＝OD，∴∠D＝∠OBD. ∵∠AOB＝∠D＋∠OBD， ∴∠AOB＝2∠D＝2∠C，即∠C＝∠AOB. 类型6　关于圆的运动、变换问题的分类讨论 12.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的☉P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6 cm，如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么☉P与直线CD相切时运动时间为（　D　） A.4秒 B.8秒 C.4秒或6秒 D.4秒或8秒 D 给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在☉O上时，平移线段AB，使点M落在☉O上，得到线段A'B'（A'B'分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到☉O的“平移距离”. 13.阅读理解如图所示，在平面直角坐标系xOy中，☉O的半径为1. （1）已知点A的坐标为（－1，0），点B在x轴上. ①若点B与原点O重合，则线段AB到☉O的“平移距离”为 　⁠​ 　⁠. ②若线段AB到☉O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 　（－5，0） 或（7，0）　⁠. ⁠​ （－5，0） 或（7，0） 思路分析： 　（1）根据平移的性质以及线段AB到☉O的“平移距离”的定义判断即可求出.　 （1）根据平移的性质以及线段AB到☉O的“平移距离”的定义判 断即可求出. （2）若点A，B都在直线y＝x＋4上，且AB＝2，记线段AB到☉O的“平移距离”为d1，求d1的最小值. 解：（2）如图所示. 记直线y＝x＋4为l，当l平移到m位置时，d1最小，即平移到直线m与☉O相切时，d1最小. 过点O作OE⊥l于点E，则d1＝OE－1. 设直线OE的函数表达式为y＝kx.∵OE⊥l， 　（2）记直线y＝x＋4为l，过点O作OE⊥l 于点E，联立方程组求出点E的坐标，即可得出d1的最小值.　⁠ 　（2）记直线y＝x＋4为l，过点O作OE⊥l 于点E，联立方程组求出点E的坐标，即可得出d1的最小值.　⁠ ∴k×＝－1，即k＝－，∴y＝－x. 联立方程组解得 ∴点E的坐标为 ， ∴OE＝，∴d1＝. （3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到☉O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围.  　（3）以点A为圆心，1为半径作☉A，连接OA 交☉A于点E，F；由图可知：当点M在点F时，d2最小；当点M在点E时，d2最大.由此得出d2的取值范围.　⁠ 解：（3）d2的取值范围是3≤d2≤5.  　（3）以点A为圆心，1为半径作☉A，连接OA 交☉A于点E，F；由图可知：当点M在点F时，d2最小；当点M在点E时，d2最大.由此得出d2的取值范围.　⁠ 类型7　关于相交圆问题的分类讨论 14.已知☉O1，☉O2相交于A，B两点，点O1在☉O2上，过点A作☉O1的一条非直径的弦AC，连接CB，CB所在直线与☉O2的另一个交点为D，连接DO1，则DO1与AC垂直吗？为什么？ 思路分析： 　分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论.　⁠ 解：垂直，理由如下： 分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况讨论. （1）当AC在如图①所示的位置时， 过点A作☉O1的直径AE，连接AB，BE， ∴∠ACB＝∠AEB，∠BAE＝∠CDO1，∠ABE＝90°. ∴∠EAB＋∠AEB＝90°，∴∠CDO1＋∠ACB＝ 90°. ∴DO1⊥AC. （2）若作的非直径的弦AC如图②所示， 过点A作☉O1的直径AE，连接AB，BE， 则有∠ABE＝90°，∠BDO1＝∠BAE， ∴∠AEB＋∠BAE＝90°. 又∵∠ACD是圆内接四边形AEBC的一个外角， ∴∠ACD＝∠AEB.∴∠ACD＋∠BDO1＝90°. ∴DO1⊥AC. 综上所述，DO1与AC垂直. $$