第二十七章 相似 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年九年级下册数学课时通(人教版)

年级下册·RJ 数学 第二十七章　相似 本章综合提升 1.方程思想 在求线段的长或某图形的周长或面积、相似三角形中的动态问题等时，经常要根据相似三角形的对应边的比相等，列方程求解. 　　【例1】　小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A'落在BC边上，求折叠后纸片重叠阴影部分的面积. 解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E， 由折叠可知， ∠ACD＝∠A'CD＝∠ACB＝45°，AC＝A'C＝4， ∴∠CDE＝∠A'CD＝45°，∴DE＝CE. 设DE＝x，则BE＝6－x. ∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠BED＝∠ACB， ∴DE∥AC，∴△DBE∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得x＝，即DE＝， ∴S阴影部分＝A'C·DE＝×4×＝. 【变式训练1】 如图①所示，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为2 cm/s；点F沿CA，AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们的运动时间为x（s）. （1）当x＝1时，求EF的长. 解：（1）如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，过点F作FG⊥BC于点G，则FG∥AD. 根据题意，得CF＝BE＝2，AB＝AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD＝＝3. ∵FG∥AD，∴△FCG∽△ACD， ∴＝＝＝，∴FG＝，CG＝， ∴EG＝BC－BE－CG＝， ∴EF＝＝. 　　（2）如图②所示，AD⊥BC于点D，交EF于点N，连接DF.求x为何值时，△EFC和△ACD相似. 解：（2）当点F在AC上，点E在BD上时， ①由题意，得BE＝CF＝2x cm，则CE＝（8－2x）cm， 当＝时，△CFE∽△CDA， ∴＝，解得x＝. ②当＝时，△CFE∽△CAD， 即＝，解得x＝. 当点F在AB上，点E在CD上时，△EFC不是直角三角形，不存在△EFC与△ACD相似， 综上所述，当x＝或时，△EFC和△ACD相似. 2.转化思想 在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题.将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，最终转化为有迹可循，容易解决的问题. 我们一般把要证明的结论或求解的结果转化为三角形的相似问题，通过三角形相似解决问题. （1）求证：AM＝CM. 解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDM＝45°. 在△ADM和△CDM中， 【例2】　如图所示，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM. ∴△ADM≌△CDM（SAS），∴AM＝CM. （2）若∠CME＝45°，求的值. 解：（2）∵△ADM≌△CDM，∴∠AMD＝∠CMD. ∵∠CME＝45°，∴∠AMC＝135°. ∴∠AMD＝∠CMD＝∠AMC＝67.5°. ∵∠ADM＝∠CDM＝45°，∴∠DAM＝∠DCM＝67.5°， ∴∠DMC＝∠DCM＝67.5°，∴DC＝DM. 设正方形的边长为a， 则AB＝CD＝DM＝a，由勾股定理，得BD＝a， ∴BM＝BD－DM＝（－1）a. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABM＝45°， ∴∠ABM＝∠CME＝45°. ∵∠MAD＝∠MCD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAM＝∠BCM，∴△ABM∽△CME， ∴＝，∴＝＝－1. 【变式训练2】 如图所示，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF， （1）求证：∠E＝∠F. 解：（1）证明：∵CE∥DF， ∴∠BCG＝∠D. ∵∠A＝∠1，∴∠E＝∠F. 解：（2）∵AB∶BC∶CD＝2∶2∶1，∴AC∶BD＝4∶3. ∵∠BCG＝∠D，∠A＝∠1，∴△AEC∽△BFD， ∴＝＝. 设S△ACE＝16x，则S△BDF＝9x. ∵∠1＝∠A，∴BG∥AE，∴△CBG∽△CAE， ∴＝＝，∴S△CBG＝×16x＝4x， ∴S四边形ABGE＝16x－4x＝12x， （2）若AB∶BC∶CD＝2∶2∶1，直接写出的值. S四边形GCDF＝9x－4x＝5x，∴＝＝. 3.分类讨论思想 在说明两个三角形相似时，如果题目所给出的对应元素不确定或方法不确定，那么要注意分类讨论解答，以免漏解. 　　【例3】　将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度. 解：根据△B'FC与△ABC相似时的对应关系