2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数专题3：角度问题

课题 二次函数专题3：角度问题 教学内容 已知角度为定值求动点坐标 【方法梳理】 方法一:利用勾股定理 适用情形:已知角为特殊角（30°，45°，60°，90°），适用于第1题 作法:将已知角放在直角三角形中或构造直角三角形，通过勾股定理列方程求字母的值. 方法二:构造一线三垂直 适用情形:已知角为90°，适用于第2题 作法: ① 同侧一线三垂直 如图① ，过点P作DE∥x轴，分别过点A,B作AD⊥DE于点D, BE⊥DE于点E; 结论:△APD∽△PBE（当AP＝ BP时,△APD≌△PBE）. ② 异侧一线三垂直如图② ，过点P作PE∥y轴，分别过点A,B作AD⊥PE于点D, BE⊥PE于点E; 结论:△APD∽△PBE（当AP＝ BP时,△APD≌△PBE）. 方法三:构造辅助圆 适用情形:已知角为非90°的角，且该角所对的弦为定边，适用于第3、4题 作法: （1）当∠P＜90°时，点P在如图③ 所示的优弧APB上运动（不与点A，B重合）; 结论:∠AOB＝2∠P. （2）当∠P＞90°时，点P在如图④ 所示的劣弧AB上运动（不与点A，B重合）; 结论:∠AOB+∠APB＝180° 方法四:结合三角函数 适用情形:已知角为非特殊角（15°，75°或105°），适用于第5、6题 作法:通过角的和差关系将其转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解. 【方法突破】 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2m-1，m）（m＞0），过点A作AB⊥x轴于点B. （1）若∠AOB＝30°，求m的值; （2）若∠AOB＝60°，求m的值. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:分别交x轴，y轴于点A，B，直线l2:x+t与x轴交于点C，与直线l1交于点D，P是x轴上的一点，且BP＝DP.若∠BPD＝90°，求t的值. 3.如图，抛物线x2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，若∠APB＝ 45°，求点P的坐标（点P的横、纵坐标均为整数）. 4.如图，抛物线y＝-x2+2x+8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点P是抛物线的对称轴上一点，若∠APB＝150°，求点P的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一点，若∠PBA＝15°，求点P的坐标. 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点Q为y轴上一点，若∠QAB＝75°，求点Q的坐标. 【设问进阶】 例：如图，抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）若点F是抛物线对称轴上一点，当∠AFC＝90°时，求点F的坐标; （2）若点N为抛物线上一点，当∠NBA＝30°时，求点N的横坐标; （3）若点P为抛物线对称轴上一点，当∠APC＝45°时，求点P的坐标; （4）如图④ ，连接AC，BC，点D在线段AC上（不与点A，C重合）且 tan∠BDC＝3，求点D的坐标; （5）如图⑤ ，已知点Q（0，1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得 tan∠？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由; 【综合强化】 1.如图，抛物线y＝ax2-3x+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），C两点，交y轴于点B（0，-4），点P为y轴右侧抛物线上一个动点. （1）求抛物线的解析式; （2）过点B作BD∥x轴，过点P作PD⊥BD于点D，且，求点P的坐标; （3）（三角函数值确定）当点F为AB的中点，且tan∠时，求点P的横坐标. 2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x-3）（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与 y 轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点. （1）求抛物线的解析式及点D的坐标; （2）如图① ，连接PB，PD，求的最小值; （3）（特殊角+定边）如图② ，连接CP，PB，BC，若∠CPB＝135°，求点P的坐标. 已知角度关系求动点坐标 【方法梳理】 方法一:构造平行线法 适用情形:两角相等，适用于第1题 作法:如图，若使得∠ABC＝ ∠BCD，可作AB边的平行线，由两直线平行内错角相等得到∠ABC＝∠BCD; 总结:若两角相等，可通过作已知角一边的平行线，由平行线的性质得到角相等，再通过平行线与抛物线或直线等的交点求解. 方法二:构造特殊角 适用情形:两角倍数关系，适用于第2题 做法:根据已知条件找特殊角，如45°角等，再由角度倍数关系计算角的度数求解; 方法三:构造辅助圆 适用情形:两角互余，适用于第3题 作法:如图，以∠ABC的一边AB为直径作圆，圆与直线交点即为所求作的点. 总结:当两角互余时，首先可考虑是否存在