专题2.20 一元一次不等式和一元一次不等式组（全章知识梳理与核心考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.20 一元一次不等式和一元一次不等式组（全章知识梳理与核心考点分类讲解） 【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。  （3）求不等式解集的过程叫解不等式。  （4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 （5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。 【知识点二】等式基本性质 性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。 性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。 【知识点三】不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【知识点四】解不等式的步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。  【知识点五】解不等式的步骤： （1）解出不等式的解集；（2）在同一数轴表示不等式的解集；（3）写出不等式组的解集。  【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)  ； （4）解不等式组；检验并作答。 【核心考点目录】 【考点1】不等式的基本性质； 【考点2】一元一次不等式； 【考点3】一元一次不等式与一次函数； 【考点4】一元一次不等式组； 【考点5】一元一次不等式的应用； 【考点6】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合. 【考点一】不等式的基本性质； 【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足：． 求证： （1）； （2） 【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可； （2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点拨】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1】（2023·安徽·九年级专题练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，可以采用特殊值的方法进行判断．根据，可以取满足条件的特殊值，进行判断． 解：，当，时， A、，，，故该选项错误，不符合题意； B、∵m＞n， ∴，, ∴，故该选项错误，不符合题意； C、∵m＞n， ∴， 又∵， ∴，故该选项正确，符合题意； D、，，，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 【变式2】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质．根据两边同除以，得，不等号的方向发生改变，得到，求解即可．掌握不等式的两边同时除以一个负数，不等式的方向发生改变，是解题的关键． 解：∵不等式两边同时除以，得， 由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【考点二】一元一次不等式； 【例2】（2024下·全国·七年级假期作业）已知不等式． （1）若不等式的解集为，求m的值； （2）若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）解不等式，得． ∵该不等式的解集为，∴，解得． （2）∵解原不等式，得，且x取任意正数都能使不等式成立，∴，解得 【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答． 解：， ， ， 不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键． 解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解