专题2.1 四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.1 四边形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】多边形 1、 多边形内角和公式：n边形的内角和=(n－2)·180º 2、多边形外角和都是360°（记住：与边数无关） 【知识点二】中心对称 3、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分 【知识点三】特殊四边形的判定 ①平行四边形： 方法1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；方法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形；方法4一组对边平行相等的四边形是平行四边形； 方法5对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ②矩形： 方法1有三个角是直角的四边形是矩形 ； 方法2对角线相等的平行四边形是矩形 ③菱形： 方法1四边都相等的四边形是菱形； 方法2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ④正方形 方法1有一个角是直角的菱形是正方形； 方法2有一组邻边相等的矩形是正方形 【知识点四】面积公式 ①S平行四边形=底×高 ②S矩形=长×宽 ③S正方形=边长×边长 ④S菱形＝底×高＝（ ）×对角线的积即：S=(a×b)÷2 【考点一】多边形 【例1】（2023上·江西南昌·八年级校考期中）（1）如图，若正方形和正八边形的一边重合，求的度数． （2）如图，已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）运用正多边形的内角和公式“，为正多边形的边数”求出多边形的内角和，在算出每个内角的度数，根据周角等于即可求解； （2）运用“边角边”的方法证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可求解． 解：（1）∵正八边形每个内角的度数是， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查正多边形内角和与周角的知识，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（   ） A．4 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解． 解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022， ∴， ∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处， 连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示： 在正六边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键． 【变式2】（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解． 解：∵六边形是正六边形， ∴，， 当点在点处时， ∵，， ∴， 当点在点处时，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∵，， ∴即， ∴是正三角形， ∴， ∴， 故答案为（答案不唯一）． 【点拨】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【考点二】中心对称图形 【例2】（2022上·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分． （1）如图1，若，，求CD的长； （2）如图2，若G为EF上一点，且，求证：． 【答案】（1）7；（2）见分析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分，可得∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解； （2）再CF上截取FN=FG，可得，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到NC=FD，即可求证． （1）解：在中，AB∥CD，AB=CD， ∴∠EBF=∠CFB， ∵FB平分， ∴∠EFB=∠CFB， ∴∠EFB=∠EBF， ∴BE=EF=5， ∵AE=2， ∴CD=AB=AE+BE=7