专题1.1 直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.1 直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】直角三角形的性质和判定 1.直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 （1）三角形内角和等于180°。 （2）三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 3.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点二】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点三】直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 【知识点四】角平分线的性质 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 【考点一】直角三角形的性质与判定（1） 【例1】（2024上·上海虹口·八年级上外附中校考期末）已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 解：（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵G为的中点． ， ， ∴E为的中点． ， ； （2）证明：由（1）知：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【举一反三】 【变式1】（2022上·山东德州·八年级校考阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点拨】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 【变式2】（2024上·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在中，，，点为边上一点，连接，．若，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、等角对等边，先求出，再由含角的直角三角形的性质得出，再由三角形外角的定义及性质得出，最后由等角对等边得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【考点二】直角三角形的性质与判定（2） 【例2】（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）在中，，进行如下操作： （1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； （2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． （1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 【举一反三】 【变式1】（2023·江苏南通·统考二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方