第4篇 第9～10讲 计数原理、概率、随机交量及分布列 统计与成对数据的统计分析(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

高考二轮总复习·数学 第 ９ 讲　 计数原理、概率、随机变量及分布列 　 　 一、知识回扣 　 　 １.排列 (１)排列的定义:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ≤ ｎ)个元素ꎬ按照一定的顺序排成一列ꎬ叫做从 ｎ 个不同 元素中取出 ｍ 个元素的一个排列. (２)排列数的定义:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ ≤ｎ)个元素的所有不同排列的个数ꎬ叫做从 ｎ 个不同 元素中取出 ｍ 个元素的排列数ꎬ用　 　 　 　 表示. (３)排列数公式:Ａｍｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . (４)全排列:ｎ 个不同元素全部取出的一个排列ꎬ 叫做 ｎ 个元素的一个全排列ꎬＡｎｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 . 排列数公式写成阶乘的形式为 Ａｍｎ ＝ ｎ! (ｎ －ｍ)!ꎬ这里规定 ０! ＝ 　 　 　 　 . ２.组合 (１)组合的定义:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ≤ ｎ)个元素合成一组ꎬ叫做从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个 元素的一个组合. (２)组合数的定义:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ ≤ｎ)个元素的所有不同组合的个数ꎬ叫做从 ｎ 个不同 元素中取出 ｍ 个元素的组合数ꎬ用　 　 　 　 表示. (３)组合数的计算公式:Ｃｍｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ ｎ!ｍ! (ｎ －ｍ)! ＝ ｎ(ｎ － １)(ｎ － ２)􀆺(ｎ －ｍ ＋ １)ｍ! ꎬ由于 ０! ＝ １ꎬ所以 Ｃ０ｎ ＝ 　 　 　 　 . (４)组合数的性质:①Ｃｍｎ ＝ 　 　 　 　 ꎻ②Ｃｍｎ ＋ １ ＝ Ｃｍｎ ＋ Ｃｍ － １ｎ . ３.二项式定理 (ａ ＋ ｂ) ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 (ｎ∈Ｎ∗) . 这个公式叫做二项式定理ꎬ右边的多项式叫做(ａ ＋ ｂ) ｎ 的二项展开式ꎬ其中的系数 Ｃｋｎ(ｋ∈{０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬ ｎ})叫做二项式系数. 式中的 　 　 　 　 　 　 　 　 叫做 二项展开式的通项ꎬ用 Ｔｋ ＋ １表示ꎬ即展开式的第 ｋ ＋ １ 项:Ｔｋ ＋ １ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . ４.二项式系数的性质 (１)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式 系数相等ꎬ即　 　 　 　 　 　 　 　 . (２)增减性与最大值:二项式系数先增后减ꎬ中间 一项或两项的二项式系数最大. 二项式系数为 Ｃｋｎꎬ当 ｋ < ｎ ＋ １２ 时ꎬ二项式系数是递增的ꎻ当 ｋ > ｎ ＋ １ ２ 时ꎬ二项 式系数是递减的. 当 ｎ 是偶数时ꎬ那么其展开式中间一 项 Ｔ ｎ ２ ＋ １ 的二项式系数最大. 当 ｎ 是奇数时ꎬ那么其展开式中间两项 Ｔｎ － １ ２ ＋ １ 和 Ｔｎ ＋ １ ２ ＋ １ 的二项式系数相等且最大. (３)各二项式系数的和 (ａ ＋ ｂ) ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等 于 ２ｎꎬ 即 Ｃ０ｎ ＋ Ｃ１ｎ ＋ Ｃ２ｎ ＋􀆺 ＋ Ｃｋｎ ＋􀆺 ＋ Ｃｎｎ ＝ 　 　 　 　 . 二项展开式中ꎬ偶数项的二项式系数的和等于奇 数项的二项式系数的和ꎬ即 Ｃ１ｎ ＋ Ｃ３ｎ ＋ Ｃ５ｎ ＋ 􀆺 ＝ Ｃ０ｎ ＋ Ｃ２ｎ ＋ Ｃ４ｎ ＋􀆺 ＝ 　 　 　 　 . ５.概率的计算公式 (１)古典概型的概率计算公式 Ｐ(Ａ) ＝ Ａ 包含的基本事件的个数 ｍ 基本事件的总数 ｎ . (２)互斥事件的概率计算公式 Ｐ(Ａ∪Ｂ) ＝ 　 　 　 　 . (３)对立事件的概率计算公式 Ｐ(􀭵Ａ) ＝ １ － 　 　 　 　 . (４)条件概率公式 Ｐ(Ｂ ｜Ａ) ＝ Ｐ(ＡＢ)Ｐ(Ａ) . ６.离散型随机变量 (１)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①ｐｉ≥０( ｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ)ꎻ②ｐ１ ＋ ｐ２ ＋ 􀆺 ＋ ｐｎ ＝ 　 　 　 　 . (２)均值公式 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . (３)均值的性质 ①Ｅ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ ②若 Ｘ ~ Ｂ(ｎꎬｐ)ꎬ则 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ ③若 Ｘ 服从两点分布ꎬ则 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 . (４)方差公式 Ｄ(Ｘ) ＝[ｘ１ －Ｅ(Ｘ)]２􀅰ｐ１ ＋ [ｘ２ －Ｅ(Ｘ)]２􀅰ｐ２ ＋􀆺 ＋ [ｘｎ －Ｅ(Ｘ)]２􀅰ｐｎꎬ标准差为 Ｄ(Ｘ) . (５)方差的性质 ①Ｄ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ ②若 Ｘ ~ Ｂ(ｎꎬｐ)ꎬ则 Ｄ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎻ ③若 Ｘ 服从两点分布ꎬ则 Ｄ(Ｘ) ＝ 　 . (６)独立事件同时发生的概率计算公式 Ｐ(ＡＢ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . (７)独立重复试验的概率计算公式 Ｐ(Ｘ ＝ ｋ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . ７.正态分布 如