第4篇 第7～8讲 解析几何 函数与导数(学案)-【衡中学案】2024年新高考数学二轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计·新高考 第 ７ 讲　 解析几何 　 　 一、知识回扣 　 　 １.直线方程的五种形式 (１)点斜式:　 　 　 　 　 　 　 　 (直线过点 Ｐ１(ｘ１ꎬ ｙ１)ꎬ且斜率为 ｋꎬ不包括 ｙ 轴和平行于 ｙ 轴的直线) . (２)斜截式:ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ(ｂ 为直线 ｌ 在 ｙ 轴上的截 距ꎬ且斜率为 ｋꎬ不包括 ｙ 轴和平行于 ｙ 轴的直线) . (３) 两点式: ｙ － ｙ１ ｙ２ － ｙ１ ＝ ｘ － ｘ１ ｘ２ － ｘ１ (直线过点 Ｐ１ ( ｘ１ꎬ ｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ且 ｘ１≠ｘ２ꎬｙ１≠ｙ２ꎬ不包括坐标轴和平 行于坐标轴的直线) . (４)截距式: ｘａ ＋ ｙ ｂ ＝ １(ａꎬｂ 分别为直线的横、纵 截距ꎬ且 ａ≠０ꎬｂ≠０ꎬ不包括坐标轴、平行于坐标轴和过 原点的直线) . (５)一般式:Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０(其中 ＡꎬＢ 不同时为 ０) . ２.直线的两种位置关系 (１) 当不重合的两条直线 ｌ１ 和 ｌ２ 的斜率都存 在时: ①两直线平行:ｌ１∥ｌ２⇔　 　 　 　 　 　 　 　 . ②两直线垂直:ｌ１⊥ｌ２⇔　 　 　 　 　 　 　 　 . 提醒　 当一条直线的斜率为 ０ꎬ另一条直线的斜 率不存在时ꎬ两直线也垂直ꎬ此种情形易忽略. (２)直线方程是一般式 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０. ①若直线 ｌ１:Ａ１ｘ ＋ Ｂ１ｙ ＋ Ｃ１ ＝ ０ꎬｌ２:Ａ２ｘ ＋ Ｂ２ｙ ＋ Ｃ２ ＝ ０ꎬ则 ｌ１∥ｌ２⇔Ａ１Ｂ２ － Ｂ１Ａ２ ＝ ０ 且 Ａ１Ｃ２≠Ａ２Ｃ１ . ②若直线 ｌ１:Ａ１ｘ ＋ Ｂ１ｙ ＋ Ｃ１ ＝ ０ꎬｌ２:Ａ２ｘ ＋ Ｂ２ｙ ＋ Ｃ２ ＝ ０ꎬ则 ｌ１⊥ｌ２⇔Ａ１Ａ２ ＋ Ｂ１Ｂ２ ＝ ０. 提醒　 无论直线的斜率是否存在ꎬ上式均成立ꎬ所 以此公式用起来更方便. ３.三种距离公式 (１)已知 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ两点间的距离 ｜ＡＢ ｜ ＝ (ｘ２ － ｘ１) ２ ＋ (ｙ２ － ｙ１) ２ . (２)点到直线的距离 ｄ ＝ ｜Ａｘ０ ＋ Ｂｙ０ ＋ Ｃ ｜ Ａ２ ＋ Ｂ２ (其中点 Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ直线方程为 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０(Ａ２ ＋ Ｂ２≠０)) . (３)两平行线间的距离 ｄ ＝ ｜Ｃ２ － Ｃ１ ｜ Ａ２ ＋ Ｂ２ (其中两平行 直线方程分别为 ｌ１:Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ１ ＝ ０ꎬｌ２:Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ２ ＝ ０(Ａ２ ＋ Ｂ２≠０ꎬＣ１≠Ｃ２)) . 提醒　 应用两平行线间距离公式时ꎬ注意两平行 直线方程中 ｘꎬｙ 的系数应对应相等. ４.圆的方程的两种形式 (１)圆的标准方程:　 　 　 　 　 　 　 　 . (２)圆的一般方程:　 　 　 　 　 　 　 　 . ５.直线与圆、圆与圆的位置关系 (１)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离. 判断方法:代数判断法与几何判断法. (２)弦长的求解方法 ①根据半径ꎬ弦心距ꎬ半弦长构成的直角三角形ꎬ 构成三者间的关系 ｒ２ ＝ ｄ２ ＋ ｌ ２ ４ (其中 ｌ 为弦长ꎬｒ 为圆 的半径ꎬｄ 为圆心到直线的距离)ꎬ弦长 ｌ ＝ ２ ｒ２ － ｄ２ . ②根据公式:ｌ ＝ １ ＋ ｋ２ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ 求解(其中 ｌ 为 弦长ꎬｘ１ꎬｘ２ 为直线与圆相交所得交点的横坐标ꎬｋ 为直 线的斜率)ꎬ或根据 ｌ ＝ １ ＋ １ ｋ２ ｜ ｙ１ － ｙ２ ｜ (ｋ≠０)求解. ③求出交点坐标ꎬ用两点间距离公式求解. (３)圆与圆的位置关系:相交、内切、外切、外离、 内含. 判断方法:代数判断法与几何判断法. (４)①当两圆相交时ꎬ公共弦所在的直线方程的 求法 若圆 Ｃ１:ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ１ｘ ＋ Ｅ１ｙ ＋ Ｆ１ ＝ ０ 与圆 Ｃ２:ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ２ｘ ＋ Ｅ２ｙ ＋ Ｆ２ ＝ ０ 相交ꎬ则两圆公共弦所在的直线 方程为(Ｄ１ － Ｄ２)ｘ ＋ (Ｅ１ － Ｅ２)ｙ ＋ Ｆ１ － Ｆ２ ＝ ０. ②公共弦长的求法 (ⅰ)代数法:将两圆的方程联立ꎬ解出交点坐标ꎬ 利用两点间的距离公式求出弦长. (ⅱ)几何法:求出公共弦所在直线的方程ꎬ利用 圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形ꎬ根据勾 股定理求解. ６.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 (２ａ 　 　 　 　 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ) ｜ ｜ＰＦ１ ｜ － ｜ ＰＦ２ ｜ ｜ ＝ 　 　 　 　 ( ２ａ 　 　 　 　 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ) ｜ ＰＦ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ 点 Ｆ 不在直线 ｌ 上ꎬＰＭ⊥ｌ 交 ｌ 于点 Ｍ 标准 方程 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １ (ａ > ｂ > ０